Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Квантовая вероятность и квантовая статистика" -> 38

Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.

Холево А.С. Квантовая вероятность и квантовая статистика — ВИНИТИ, 1991. — 132 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaveroyatnostikvantstatistika1991.pdf
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 64 >> Следующая

(2.11) на неограниченные операторы и изучению некомму-
тативного аналога сходимости почти наверное в алгебрах фон Неймана.
Подробный обзор этих результатов дан В. В. Аншеле-вичем и М. Ш.
Гольдштейном в [34], Петцем в [141], Яйте [111].
Отображение Ф неприводимо (Дэвис, Эванс), если не существует
проектора РФ О, I, такого что Ф [Р] = Р. Последнее равенство равносильно
тому, что подалгебра операторов вида РХР; Р^Ъ(Ж) инвариантна относительно
Ф. Неприводимость эквивалентна единственности инвариантного состояния Sm
и одномерности подалгебры 3U. При этом в формуле (2.11) &а[Х]= = (Тг5"Х)-
1. Для неприводимости отображения Ф, записанного в виде (1.4), необходимо
и достаточно, чтобы {Vn; п= 1, 2, ... ... }" = S(Ж), где Для
неприводимого отображения
имеет место аналог теоремы Перрона-Фробениуса, отвечающий разложению
замкнутого класса состояний цепи Маркова на подклассы (Эванс, Хег-Крон,
Альбеверио; см. обзор [27]). Случай dim5^<oo детально рассмотрен также в
книге Т. А. Сарымса-кова [31].
Пусть теперь {Ф,; ^6R+} - квантовая динамическая полугруппа, имеющая
точное нормальное инвариантное состояние 5о". Для нее также имеет место
эргодическая теорема для средних (см. обзоры [27], [94]). Неприводимые
полугруппы изучали Дэвис, Эванс, Шпон, Фриджерио (см. [78], [152]).
Необходимое и достаточное условие неприводимости динамической полугруппы
с инфинитезимальным оператором (2.5) состоит в том, что
{Я, Lj, Lj*\ / = 1, 2, (50).
Для неприводимых квантовых динамических полугрупп с непрерывным временем
имеет место существенное усиление эрго-дической теоремы (см. [94])
w* - lim Ф,[X] = (Tr SocA')-I.
'/->4-00
Этот факт не переносится на динамические полугруппы в произвольных
алгебрах фон Неймана. Обобщения на этот случай других асимптотических
свойств, спектральной теории и теоремы Перрона-Фробениуса подробно
рассмотрены в обзоре Гроха [94].
Основные физические примеры эргодических динамических полугрупп
относятся к классу квазисвободных полугрупп, для которых эргодичность
устанавливается непосредственно (см. обзор [27]).
2.6. Расширения динамических полугрупп. С точки зрения
статистической механики закономерен вопрос - насколько понятие
динамической полугруппы согласуется с более фундаментальным законом
обратимой эволюции для изолированной системы. В физических приложениях
управляющее уравнение
(2.1) получается при рассмотрении взаимодействия квантовой системы с
окружением в марковском приближении (пределы слабого или сингулярного
взаимодействия). Строгое обоснова-
6-9280
81
ние такого приближения требует достаточно громоздких оценок даже для
простых моделей. Имеется ряд обзоров [152], [56], [93]г [27], [52], в
которых эта проблема квантовой статистической механики получила
всестороннее освещение, и лучшее, что здесь можно предложить - это
обратиться к одному из этих обзоров.
В принципиальном плане представляет интерес также постановка обратной
задачи о расширении динамической полугруппы до группы автоморфизмов, т.
е. представление марковской динамики через обратимую динамику открытой
системы, взаимодействующей с окружением. Возможность такого расширения
обусловлена, главным образом, свойством полной положительности (Дэвис;
Эванс, Льюис; см. [84]).
Теорема. Пусть {Ч^; ^R+}- непрерывная по норме динамическая полугруппа
в пространстве состояний &(Ж). Найдутся гильбертово пространство 3@о,
состояние 50 в и сильно непрерывная группа унитарных операторов {Ut\ ^6R}
в Ж(r)Жо, такие что
ЧЧ5]=Тг^о?/((5(r)50)^*; 5б@(Ж), для всех ^6R+.
В п. 5.2.2 будет приведена явная конструкция расширения, допускающая
прозрачное динамико-статистическое истолкование. Следует отметить, что
одна и та же динамическая полугруппа может иметь много неэквивалентных
расширений (даже если требовать минимальность расширения). Дополнительный
свет на структуру возможных расширений проливает понятие квантового
случайного процесса. Согласно определению Аккар-ди, Фриджерио и Льюиса
(1980), квантовый случайный процесс задается тройкой (21, (jt), <р), где
21- С*-алгебра, (/\)<еR -семейство "-гомоморфизмов некоторой
фиксированной С*-алгебры 0 в 21, ф - состояние на 21. При определенных
условиях регулярности квантовый случайный процесс однозначно с точностью
до эквивалентности восстанавливается по корреляционным ядрам
wt (^i> • • •> Хп; Ylt ..Yn) =
= Ф Uи (*.)• • • • ]tn (Хп)* jtn (Yn) ... jit (YJ)
(некоммутативный аналог теоремы А. Н. Колмогорова о продолжении системы
конечномерных распределений) (см. сборник [20]). В классическом случае 21
и 0 коммутативные алгебры измеримых ограниченных функций, соответственно,
на пространстве элементарных исходов Q и на фазовом пространстве системы
Е, (jt) определяется семейством случайных величин на Q со значениями в Е,
а ф - функционал математического ожидания, соответствующий вероятностной
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 64 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed