Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Если и.-процесс непрерывен в том смысле, что
lim \\ Jfa.a+t (У (¦)'-\ У (a+ t)~ у (а) \>е) -Id \\ = 0 (2.21)
t-*0
для любого е>0, то соответствующая сверточная полугруппа непрерывна в
смысле (2.13), и, следовательно, ее характеристические функции имеют вид
(2.12), где 3? (X) -некоторая квази-характеристическая функция. Обратно
пусть 3? (к)-квазиха-рактеристическая функция, {jVt} - соответствующая
сверточная полугруппа, тогда соотношение (2.20) определяет конечномерные
распределения, продолжающиеся до однородного, непрерывного, вполне
положительного и.-процесса {Jfa, ь}. Более того, модифицируя технику
продолжения теории случайных процессов п, можно доказать, что и.-процесс
{Л'а.ь} сосредоточен на подпространстве состоящем из
функций без разрывов
второго рода. Функция 3? (X) называется генератором и.-процесса {Jfa.b}-
Слагаемое З'о в формуле (2.14) описывает эволюцию (в общем случае
необратимую) рассматриваемой квантовой системы, происходящую независимо
от процесса измерения. В классическом случае (dim Ж=\) это слагаемое
вообще отсутствует. Второе слагаемое 2'\(Х) описывает процесс
непрерывного приближенного измерения наблюдаемой A = a2{L-\rL*).
Соответствующий и.-процесс сосредоточен на непрерывных траекториях и
отвечает классическому винеровскому процессу. Многомерное обобщение -
сумма слагаемых вида (2.11) с разными операторами Lb ..., Lm -задает
процесс непрерывного приближенного
') См. И. И. Гихман, А. В. Скороход. Теория случайных процессов,- М.:
Наука, 1973.- 2.
101
измерения нескольких (вообще говоря, несовместимых) наблюдаемых [60].
Наконец, слагаемое 3?ч (М описывает скачкообразную компоненту процесса
измерения.
Пример (ср. [78, гл. 5]). Пусть 5->-5э(5); 56^(R\0) - функция
множеств, удовлетворяющая определению (вполне положительного) инструмента
(см. п. 1.1), за исключением условия нормировки 2). Таким образом, С =
&(R\0)[I] - некоторый положительный оператор. Соотношение
2(ЩХ\= \ eiXx^ (dx)[X] - С°Х4- i\Н, Л'] (2.22)
R\0
определяет квазихарактеристическую функцию, представляющую собой первое
слагаемое в формуле (2.16). Однородный и.-процесс {Jfa,b} с генератором
(2.22) имеет кусочно-постоянные траектории; пусть, например, fcS) -
подмножество траекторий, имеющих ровно т скачков на отрезке [а, Ь],
причем /-Й скачок происходит на интервале Ajcz[a, Ъ] и имеет величину
hfiBh где 5j6^(R\0). Если интервалы Ах, . . ., Am следуют друг за другом
без пересечений, то
Jfa,b(F)=\ ... J eit'-a)?°-?(Bl).....'?>(Bm)X
д' дш
... dtm,
где 3'о[Х]=-C°X-\-i[H, X]. Особенно просто устроен аналог пуассоновского
процесса с генератором
^(K)[X]^[i(eikhU*XU-X)+i[H, X],
где U - изометрический оператор. Это считающий процесс [154], для
которого скачки траектории фиксированной величины h происходят в
случайные моменты времени, имеющие экспоненциальное распределение с
параметром ц>0. В момент скачка состояние преобразуется по формуле S-
+USU*, а между скачками эволюционирует согласно закону
S^e-^e-tHtSeiBt.
Рассмотрим вкратце вопрос о сходимости повторных измерений к процессу
непрерывного измерения. Пусть временная ось R разбита на промежутки
[?4(я), f^] длины 1/м, и каждому моменту времени отвечает измерение,
описываемое вполне положительным инструментом с характеристической
функцией Ф(В,'(Я). Серия таких повторных измерений естественным образом
определяет и.-процесс {Л'о, г,}, траекториями которого являются кусочно-
постоянные функции (см. [102]). Обозначим
^),(5)=Tr5^ (?)[A*J; Ее@а,ь,
где Х^О.
102
Теорема. Пусть существует т-непрерывный предел т-lim п (Ф(") (А) -
Id) = & (X),
71-+-00
причем sup sup п || ф(п) (Я,) - Id || < оо. Тогда последовательность
п 1^|<1
мер сходится в Топологии Скорохода к мерам
^,х(?) = тг5Лвв>"(Я)[А']1
где {Л*а,ь} - однородный вполне положительный и.-процесс с генератором
3?(А,).
В частности, последовательность повторных приближенных измерений
наблюдаемой А из примера п. 2.3 сходится к процессу непрерывного
измерения с генератором (2.11).
В случае dim <9^=1 этот результат переходит в теорему А. В. Скорохода
о сходимости сумм независимых случайных величин к процессу с независимыми
приращениями.
Знание генератора и.-процесса позволяет в принципе определить
основные вероятностные характеристики распределения
(2.18) в пространстве траекторий, в частности, произвольные смешанные
моменты [60]. На этом основаны квантово-статистические приложения
рассматриваемой теории. В работе [103] проведено сравнение оценок
неизвестной силы, действующей на открытую квантовую систему, построенных
на основе различных процессов непрерывного измерения. Статистика
считающих процессов рассматривалась в работах [154], [18].
