Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Утверждение доказывается прямой проверкой.
Пусть есть С*-алгебра с единицей и Т - множество; семейство
(ф?: Et=F(T)} называется проективной системой функционалов
ожидания над 3S, если для каждого Е F(Т)
Ц>Е есть функционал на ДИЕ со значением в С, такой что
условия EFI, ..., EF4 выполнены; оно называется нормальной
проективной системой, если St есть И?*-алгебра и условие NEF
также выполнено.
Следствие 1.8.2. Пусть St есть С*-алгебра с единицей и {ф?:
E^F(T)}-проективная система функционалов ожидания над St с
множеством значений параметра Т. Тогда су-
Квантовые случайные процессы
25
ществует симметричный случайный процесс (лФ, над
38 с семейством функционалов ожидания {сре: E^F(T)}. Процесс
единствен с точностью до эквивалентности и является \^*-
процессом, если - W*-aAae6pa и система функционалов ожидания
нормальна.
Доказательство. Для всех a, be teT, положим wt(а; Ь) = ф[ц
([а*] [Ь*]*). Легко проверить, что если {<рЕ: Е е е/ДГ)}
удовлетворяет EF1, ..., EFA, то {wp teT} удовлетворяет C/U, ...,
СК6 (и условие NCK также выполняется, если выполняется NEF).
Следовательно, по теореме 1.3 существует случайный процесс (s&,
{jt},(r)) над единственный с точностью до эквивалентности,
семейство корреляционных ядер которого совпадает с {w(: teT},
причем выполняется ш((а; Ь) = со(Д(а)'Д(6)). Так как [pt] = [t] и \рЪ]
= [Ь] для всех перестановок р, то семейство {wp. teT} симметрично
и справедливо равенство cp[t] ([b]) = wt ([b*]; Д) = = co(/t(b*)*) =
(r)(Д1 (М Ёп(ьп)) лля всех Ь = (6j 6")е
t = (/|, ...,/JeT, и функционалы ожидания определяются
процессом. Нормальность отображений njt следует из условия NEF
так же, как и в доказательстве теоремы 1.3.
§ 2. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ПОЛУГРУППЫ
2.1. В этом параграфе под "случайным процессом" понимается
совокупность (s?, {/*},(c)), как в определении, причем под зФ
подразумевается ее ГНС-представление п(лФ), так что jt = n°jt\ это
всегда возможно с точностью до эквивалентности. Если 38 есть 1Е*-
алгебра и отображения jt нормальны (Ц7*-процесс), то мы возьмем в
качестве лФ 1Е*-алгебру, порождаемую {jt(b): /iel, (еГ), а в
качестве со - нормальное состояние на лФ. Предположим также, что
множество значений параметра Т вполне упорядочено (например, N,
Z, R+, R), и мы будем рассматривать его как "время". Для каждого
(еГ определим С*-подалгебры в лФ (^-подалгебры для \Е*-процесса):
зФц = V {js(b): b е J, s < /}; (2.1а)
= V {it {by. b s Щ = и (J); (2.16)
&\t = V {ju(b): & eJ, /<"}; (2.1b)
и для всех t < и определим
s<, и\ = V {js (b): b e= ./. t < 5 <
u}, (2.1 r)
где VS означает, что С*-алгебра (или 1Е*-алгебра) порождена
подмножествами Serf.
26
Л. Аккарди, А. Фриджерио, Цж. Т. Льюис
Если si есть 1Е'*-алгебра, и со- точное нормальное состоя-
ние на si, то новый результат [21], обобщающий известную
теорему Такесаки [22], показывает, что существует семей-
ство канонических вполне положительных отображений, со-
храняющих единицу, Es, t из sip в sis\, s <( t e T, совмести-
мых с со в том смысле, что
со [ ,s4-t\ = о) [ s4-s\0 Es, t, s < / e T\ (2.2)
они являются точными и нормальными и удовлетворяют пра-
вилу цепи
Es,tEt, и = Es s<f<u(=T. (2.3)
Такие отображения являются условными ожиданиями тогда
и только тогда, когда каждая алгебра {sis}: s е Т) глобаль-
но инвариантна относительно группы модулярных автомор-
физмов алгебры si, присоединенной к со, согласно теории
Томиты - Такесаки (в частности, когда si абелева).
Определение. Случайный процесс {si, {jt}, со), где si есть
^-алгебра и со - точное нормальное состояние на si, назы-
вается марковским процессом !), если канонические отображе-
ния {Es, с s < t ?= Т} совместимы с со и выполняется
М: Es,i{A[s,t\)^= si? Для всех s < (еГ.
(Это определение слегка модифицировано по сравнению
с определением из [23,24,3].)
Теорема 2.1. Пусть {si, {//},со) - марковский процесс над
& {$, si суть W*-алгебры, jt - нормальные отображения, со -
точное нормальное состояние на si). Предположим существо-
вание левого обратного j"t для jt, и пусть Et,t - тождествен-
ное отображение в siц. Тогда формула
zs. t = ilEs. tit- s < / e 7 (2.4)
определяет двухпараметрическое семейство вполне положи-
тельных, сохраняющих единицу нормальных отображений $
на себя, для которых справедливо
Zs, tZt, и== Zs, и (2.5)
при всех s ^ ^ и е Т. Более того, если Es, t являются
условными ожиданиями, то
••• (*")¦• Л =
= /сД, *, ("A,, t2(a; • • • *" "*") • • • ь2)ь{
для всех аи ап, Ьи ..., <=
J?.
о Это определение, по-видимому, является слишком общим. В настоящее время
под квантовым марковским процессом понимают марковский процесс с условными
ожиданиями (см. ниже).- Прим. перев.
) (2-6)
Квантовые случайные процессы
27
Доказательство. Для всех s ^ / и b е <М из марковского свойства
следует, что Es tjt(b) е sis, так что )*?s tjt(b) имеет
смысл и отображение Zs,t определено согласно (2.4). Оно вполне
