Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
с точностью до эквивалентности многовременными корреляционными ядрами.
Доказана теорема реконструкции, обобщающая теорему Колмогорова для
классических процессов. Изучены марковские процессы и соответствующие им
полугруппы; с помощью теории возмущений построены примеры неквазисвободных
марковских процессов на алгебре Клиффорда. Обсуждается связь с моделью Хеппа
- Либа.
§ 0. ВВЕДЕНИЕ
Мы изучим некоторый класс некоммутативных случайных
процессов, которые определяются с точностью до эквивалентности
своими многовременными корреляциями. Эти процессы являются
аналогом классических процессов в смысле Дуба [1], Мейера [2] и
включают их как частный случай.
Мы определяем случайный процесс над С*-алгеброй $ с
множеством значений параметра Т как совокупность из С*-алгебры
s&, семейства {/<: /еГ} "-гомоморфизмов алгебры J7 в и состояния
он на si-. Это является обобщением понятия некоммутативного
случайного процесса в смысле Аккарди [3], причем локальные
алгебры определяются как S&1 - V {jt (b): t^T, J} для любого
подмножества
I cz Т\ наблюдаемые, "локализованные в разных моментах времени",
не обязаны коммутировать. Мы покажем (предложение 1.1), что
такой процесс задается однозначно с точностью до эквивалентности
семейством корреляционных ядер 03 (А, Ы* • • • itn (ап)* jtn (Ьп) . . .
{Ьх)у, последние получаются через поляризационное тождество из
величин ш(д (ftj)* •••
... }in (ЬпУ jtn {bn) . .. }ti {b{)y которые являются неотрицательными
вещественными числами и являются аналогом конечномерных
распределений в классической теории вероятностей; если t\ ^7 t2 ^ ...
^ tn, то оии в принципе определяются
u Accardi L., Frigerio A., Lewis J. Т. Quantum Stochastic Processes, Publ. RIMS,
Kyoto Univ., 18(1982), 97-133.
14
Jl. Аккарди, А. Фриджерио, Дж. Т. Льюис
последовательными измерениями (когда Т означает временной
параметр) [4-6]; корреляционные ядра для произвольного набора
времен могут быть получены из хронологически упорядоченных,
если известны коммутационные соотношения.
Мы доказываем (теорема 1.3), что такой процесс может быть
восстановлен однозначно с точностью до эквивалентности по
проективному семейству корреляционных ядер; это - обобщение
теоремы Колмогорова [7] (родственные результаты даются
теоремами 1.7.1, 1.7.2 и следствием 1.8.2). Дается определение
марковского процесса и соответствующей полугруппы; мы
исследуем связь между этими понятиями (теоремы 2.1 и 2.2.2) и
развиваем теорию возмущений для марковских процессов,
основанную на квантовой формуле Фейнмана - Каца [8], [9]
(теоремы 2.3 и 2.4.4). Рассмотрены некоторые примеры процессов на
алгебре Клиффорда. Сначала мы строим квазисвободные процессы и
даем характеризацию марковских квазисвободных процессов через
аналог теоремы Дуба [10] (теоремы 3.2.1-3.3.2), а затем применяем
теорию возмущений для марковских процессов. Мы доказываем, что
возмущенные процессы удовлетворяют уравнению Ланжевена
(теоремы 3.4.1 и 3.4.2) и (в § 4) отмечаем, каким образом они
возникают в модели Хеппа - Либа [11], [12].
§ 1. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ТЕОРЕМА РЕКОНСТРУКЦИИ
1.1. Пусть 31 есть С*-алгебра с единицей и Т - некоторое
множество; случайным процессом над 31 с множеством значений
параметра Т называется тройка (s&, {/*: 1еГ], со), где есть С*-
алгебра с единицей, jt для любого есть
"-гомоморфизм алгебры 31 в ?ф, такой что jt{ 1^) = !^, причем s4-
порождается образами {s?t = jt(31): t^T) алгебры 3, и со -
состояние на s&. Пусть {Ш, я, П) - ГНС-конструкция,
ассоциированная с (s&, со). Два случайных процесса {//*}> w</))> 1 "
^ над одной алгеброй 31 с множеством Т
эквивалентны, если существует унитарный оператор U\ Ж(Х)-+ ->¦ такой что (/Q(1) = Q(2) и Unxx)jxx) (b) - nX2)fp(b) U для
всех И 1еГ.
Предложение 1.1. Два случайных процесса {у1/1},
со*')), j = 1,2, над 3! эквивалентны тогда и только тогда, когда
-"Л" ЫПЦК) -/!;'(",))"
= ",2'(W ¦ • • fflЫП1(ь.) ¦ ¦ ¦ Д? (6,)) (1.D
для всех аи ..., ап, blt ..., bn^3, tu ..., tn^T и всех п.
Квантовые случайные процессы
15
Доказательство. Пусть (1.1) выполняется; тогда отображение U,
задаваемое соотношением
U (я<"/<'> (Ьп) ... я<"/и> (&,) Q">) = я<2>/<2> {Ьп) ... я(2)у(2" (6)) Q(2)>
продолжается до унитарного отображения Ж^ на Ж<2), такого что
?/Q(1, = Q(2) и Un{x)j[p (b) = я(2)у(,2) (6) U для всех />е J и У е 7\
Обратное утверждение очевидно.
Случайный процесс называется W*-процессом, если 38- И?*-
алгебра и отображения я °jt нормальны для всех У е 7\
1.2. Пусть Т = [J Тп - множество всех конечных набо-
ров элементов Т, п- 1, 2, ... ; всякий элемент t множества Т
принадлежит Тп для некоторого п = п(t) и может быть записан в виде
t = (fi, ..., У"). Для любого teT пусть $t есть п(t)-кратное прямое
произведение 38 на себя. Будем обозначать элементы 98t через
Ь=(&ь ..., Ьп), и пусть y't есть отображение 381 в si- по формуле
jt(b) - jt (&п) ... jt (6J;
корреляционное ядро wt случайного процесса {si-, {y'J, со) над 38
