Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
utu_t при отрицатель
ных временах (см. [28]).
Лемма 2.4.3. Существует хотя бы одно состояние й на s&,
инвариантное относительно й/ и совместимое с Ео]. Для Zt также
существует хотя бы одно инвариантное состояние, а именно й о /0.
Доказательство. Пусть й есть *-слабый предел при t-*oo
сети |y^(o0Ssflfs: где под интегралом понимается
"-слабый интеграл Римана. Такая предельная точка всегда
существует в силу "-слабой компактности множества состояний на
С*-алгебре с единицей. Тогда й инвариантно относительно ut по
построению. Поскольку при всех s ^ 0
USEQ] - msus Ео) - nisEs\us -~ Е5]т$и$ - Es\Us (2,20)
Кзантовые случайные процессы
33
и состояние со совместимо со всеми Es\, й также будет совместимо с
Ео]. Наконец, справедливо равенство S°/0°Zt = = (c) о EQ]utj0 = й0/0.
Теорема 2.4.4. При вышеуказанных предположениях (зФ, {/<}, й)
есть новый стационарный марковский процесс над Ш с группой
автоморфизмов {up (eR) алгебры зФ, полугруппой {Zp. t ^ 0} на $ и
условными ожиданиями {Ец: зФ -> -*зФц\ i ^ R}, совпадающими с Ец
при t^O.
Доказательство. Согласно лемме 2.4.3, (зФ, {jt}, со) есть
стационарный процесс с группой автоморфизмов {ut} и й совместимо
с отображениями
~Ёц = utEo]U-t, t<= R, (2.21)
которые являются условными ожиданиями на алгебру зФ%\ = =
щзФп], t ^ R, а удовлетворяют условию ковариантности Е4
относительно {"<}. Более того, мы имеем
Et\s4-\t = йс?0]^|о = шЕ0]зФ]0 = щзФо = зФг
согласно лемме 2.4.2 и благодаря марковости исходного процесса.
Аналогичным путем для s</eR получаем по формуле (2.20)
Es\Et\ == UsEo[Ut-sEo\U-t - USEQ]Es]U - s USEQ\U - S
=== Es],
так что условие проективности также выполнено. Тогда (зФ, {/(},й)
есть стационарный марковский процесс с условными ожиданиями.
Соответствующая ему полугруппа {Zt} дается формулой (2.12), так
как ?01 = ?0!. Кроме того, согласно (2.20), Et = UtEo]U-t = Et\H-tut =
Ец для всех /^0.
Комментарии и замечания
К 2.1: В классическом случае (зФ, Я-абелевы ^-алгебры, ш -
точное нормальное состояние) канонические отображения Es, t
всегда оказываются условными ожиданиями, и наше определение
марковского свойства эквивалентно обычному для процессов в
смысле Дуба с вполне упорядоченным множеством значений
параметра. Однако следует заметить, что марковское свойство
представляет интерес также и для случайных процессов с частично
упорядоченным множеством значений параметра Т (многомерное
марковское свойство). В частности, это существенно для тех
обобщенных классических случайных процессов, которые
используются в евклидовой квантовой теории поля (см., например,
[29, 30]). По по
34
Л. Аккарди, А. Фриджерио, Дж. Т. Льюис
воду некоммутативной формулировки многомерного марковского
свойства смотри работу [23].
К 2.2: Согласно следствию 2.2.1 и теореме 2.2.2 регрессионное
соотношение (2.8), или (2.9) в стационарном случае, является
характеристическим для марковского процесса с условными
ожиданиями при некоторых условиях на коммутационные
соотношения в зФ. В частности, (2.8) выполняется для всех
классических марковских процессов, гарантируя тем самым, что
классический марковский процесс единственным образом
определяется соответствующей эволюцией {Zs, <: s^/e Г} на $ и
начальным распределением со0 - мо/о (О = min Т), или
стационарным распределением в стационарном случае. Это не имеет
места в случае некоммутативных марковских процессов; см.,
например, [3, 20], где рассматривалась структура симметричных
марковских квантовых процессов и приведена формула, заменяющая
(2.8) в подобной ситуации. Однако некоммутативные случайные
процессы, удовлетворяющие регрессионному соотношению,
представляют очевидный интерес. Линдблад [31] использует регрес-
сионное соотношение в качестве определения марковости в рамках
теории случайных процессов, базисными объектами которых
являются времяупорядоченные корреляционные ядра.
Следует отметить, что регрессионное соотношение (2.9) является
значительно более сильным свойством, нежели полу- групповой
закон для редуцированной динамики:
SG: Существуют полугруппа {Zt: t ^ 0} и инвариантное состояние
соо на Ы, такие что
WU, и (аР ar bv К) = "о {a\ZU-U (°&) М для всех а,,
а2, Ьи Ь2<^& и
Это хорошо известно для классических случайных процессов
[32]; Линдблад [33] построил квантовомеханический пример
процесса, удовлетворяющего SG, но не регрессионному
соотношению. Этот процесс обладает памятью о начальном
состоянии и немарковский в рамках нашего определения марковости
процесса. Один из вариантов этого примера дан в приложении.
Интересным является вопрос о том, можно ли построить
стационарный марковский процесс (с условными ожиданиями) над Я
с множеством значений параметра R, определяемый полугруппой {Zt:
t ^ 0} вполне положительных, сохраняющих единицу отображений в
$ с инвариантным состоянием со0 так, чтобы выполнялось
регрессионное соотношение
