Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Если процесс стационарный, то K{s,s') = =
K(s + t, s' t) для всех s, s', /eR. В силу единственности
минимального разложения Колмогорова положительно
определенного ядра [13] существует семейство унитарных
операторов {Tt: le R} на Я, таких что выполняется (3.12а).
Групповое свойство может быть проверено прямо. Более того, KQ(s,
s') = KQ{s + t, s' + t) для всех s, s', t <= R, следовательно, T7lQTt
- Q для всех (eR и условие (3.126) также выполняется. Тогда при
всех sb ..., sn, t е R и mi, ..., mn e e M мы имеем
= B(TtXsm\) ... B(TtXsnmn),
так что (3.12в) также выполняется. Обратно, если (3.12а) и (3.126)
выполнены, то определим ut согласно (3.12в) и проверим, что utjs -
js+t для всех s, (eR, <oq ° щ = <i)q для всех / е R.
3.3. Теперь перейдем к рассмотрению марковских процессов с
условными ожиданиями. В силу того что А = А(Н) порождено как
векторное пространство времяупорядоченными произведениями, для
таких процессов, согласно следствию 2.2.1 и теореме 2.2.2,
выполняется регрессионное соотношение
и
ТtXs~ Xs+t для всех t, ssR, TfQ =
QTt для всех /eR,
ut = А (Tt) для всех t е R.
(3.12а
)
(3.126
)
(3.12в
)
ut (В (Xs т() ... В (Xsnmn)) - utB (Xsm^ ... utB (Xsnmn) -
Квантовые случайные процессы
41
(2.8). Если соQ - отделяющее состояние (что эквивалентно Кег(1 -
Q*Q)= {0}), то можно показать, что условные ожидания Ef] на s4-t\
= А{Нt\), совместимые с coQ, существуют тогда и только тогда,
когда Рц коммутирует с Q, и в этом случае Et\ = AQ (Рц) для любого
/е R (пользуемся теоремой Такесаки [22] и явным выражением для
группы модулярных автоморфизмов, связанной с отделяющим
квазисвободным состоянием [46]). Для общего случая
(произвольного Кег(1 - - Q*Q)) мы для краткости дадим
следующее определение.
Определение. Квазисвободный процесс (s4, {jt}, со) называется
квазисвободным марковским процессом, если он является
марковским процессом с условными ожиданиями вида
Et\ = AQ (Pt\) для всех /eR, (3.13)
Теорема 3.3.1. Квазисвободный процесс будет квазисвободным
марковским тогда и только тогда, когда
К (s, t) ¦ К (t, и) = К (s, и) (3.14а)
для всех s^t^u в R и
KQ(s,t) = -QsK(s,t) (3.146)
для всех s, leR, где Qs есть косоэрмитово сжатие на М.
Доказательство. Предположим, что процесс является ква-
зисвободным марковским. Тогда Q коммутирует со всеми Pt\, и из
AQ(Pt\) A(H[t) = A(Ht) следует Pt]Hlt = Ht, где H[t=V{XuM:
t<^.u} и Ht = XtM. Поэтому H может быть представлено в виде
суммы Н = DJ '(c)/Д(r)Д+. где Dt = = Ht\QHt, Dt = HltQHt.
Следовательно, ((l - Pt) Xsm, (1-Pt}Xjn'} = 0 для всех tn, m'^M, где
Pt = XtXt - ортогональный проектор H на Ht. Но то же самое
можно переписать в виде
(пг, (К (s, и) - К (s, t) К (t, и)) m') - 0
для всех m, т'^М, откуда следует (3.14а). Более того, для s (c) t
имеем
(s, t) = - X'QXt = - rsPs]QXs = - X*SQPS]X = ~rsQXsxsXt,
так как PS]Xt = PsXt для s ^ /, согласно марковскому свойству, что
доказывает (3.146), причем Qs = XSQXS.
Это доказательство может быть обращено: из (3.14а) следует, что
Pt\H[t = Ht и (3.146) дает нам равенство
(QXsm, (1 - Pt) Хит') = (Qsm, К (s, и) т') -
- (Qsm, К (s, () К (/, и) т'),
42
JI. Аккарди, А. Фриджерио, Дж. Т. Льюис
что в свою очередь равно нулю по (3.14а) для всех т, т' е
еМ и s < / < и в R; таким образом, QHt\ ортогонально
к Dt, Q отображает Нц на себя и коммутирует с Pt\, бу-
дучи косоэрмитовым. Тогда AQ (РЦ) существует и А (Рц)А{Нц)=
- А(Н t).
В специальном случае стационарного квазисвободного
марковского процесса полугруппа Zt = joBoijt имеет вид
Zt = AQo(St), О О,
где St = XoXt - полугруппа согласно (3.14а), a Qo = X0QX0,
очевидно, косоэрмитово сжатие. Условие (3.7) выполнено со-
гласно построению.
Мы докажем и обратное утверждение.
Теорема 3.3.2. Пусть {Zt - AQi (St): t ^ 0}-полугруппа
квазисвободных вполне положительных отображений в
А(М). Тогда существует стационарный квазисвободный мар-
ковский процесс над А(М), такой что {Zt: t ^ 0}-связан-
ная с ним полугруппа, и процесс единствен с точностью до
эквивалентности в классе квазисвободных марковских про-
цессов.
Доказательство. Определим ковариационную функцию
формулами
( St-s, t>s, (3.15а)
К (s, () = \ .
ISs-t, l^s (3.156)
И QoSt-i, t>s, (3.15в)
Ss-tQo, /<s. (3.15г)
KQ(s, /) = {'
Очевидно, что K(s,t) и KQ{s,t) удовлетворяют условиям (3.11а),
(3.14а), (3.146). Докажем, что (3.116) также выполняется. Имеем
Z сгсД(тг, К {It, tt) mj) + i (mt, KQ (iit t,) m,)} =
t, I
= Z CtCjtoQ (B {mi) Zt,-ti (B (in/))) -f-
{!./:*?<</}
+ Z CiCj(r)Q {Ztj-tj (B (rnt)) В (nij)). (3.16)
Из доказательства леммы 3.1 мы знаем, что {Zt: t ^ 0} образует
полугруппу сжимающих отображений на line {В (гп): m е М)
относительно полунормы || х ||^ = coq (Х'Х). Полугруппа сжатий в
гильбертовом пространстве задает положительно определенную
функцию [47], следовательно, выражение
Квантовые случайные процессы
43
(3.16) неотрицательно. Отсюда следует, что ковариационная
