Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
положительно, сохраняет единицу и нормально, поскольку построено
из отображений, обладающих этими свойствами. Пользуясь правилом
(2.3) и тем, что jtj*t есть тождественное отображение в sit, получаем
A fit, и Is^s, thit^t, uhi ifis, fit, uiu Ifis, Ju ~ К и
для s < и, что доказывает (2.5). Снова пользуясь формулой (2.3) для
t0 ^ t\ ^ ... ^ tn, получим равенство Et0, tn = Eto, tEtv t2 ¦ ¦ • Etn_vtn.
Если теперь Es,t являются условными ожиданиями, то левая часть
(2.6) принимает вид
x(itn"bn))
Тогда (2.6) следует из (2.4), марковского свойства М и того, что jtj*
есть тождественное отображение в sit-
2.2. Если {Es, с s < t e Г} совместимы с со и являются
условными ожиданиями, то существует проективное семейство {Esy.
s е 7'} условных ожиданий Es\ из алгебры si на sis\, sef,
совместимых с со в том смысле, что Es, t = Es] f1 sit] для всех
s<S.t<^T. Марковское свойство М при этом эквивалентно
М': Es] (si{s) = Sis
для всех se7.
Перечислим некоторые свойства семейства {Esy. s е Т}, которые
мы будем использовать в дальнейшем:
Е\: Es\{ab) = Es\(a)b для всех aerf, b<=siS], se7;
Е 2: со = со ( sis\0 ES] для всех se7;
Е 3: Es\Et] = Es ,\t] для всех s,
и если Т = R и процесс стационарный с группой автоморфизмов {ut
- (Jt(-)U-t: (е К), то
?4: UtEs\ - Es+t\Ut для всех s, / gR.
Условия ?1 - ?4 могут быть сформулированы и в том случае,
когда si есть С*-алгебра и со не является точным состоянием. Если
существуют отображения, удовлетворяющие условиям ?1 и ?2, то
они будут удовлетворять ?3 (и ?4 в стационарном случае), если ГНС-
представление sis\, определяемое со [¦ sis\, является точным при
всех s. Мы можем
28
JI. Аккарди, А. Фриджерио, Дж. Т. Льюис
использовать условия ?1-?4 и М' для того, чтобы дать
определение марковского свойства, которое имеет смысл даже когда
si не есть Ц7*-алгебра и ш не точное.
Определение. Случайный процесс {si, {/<},ш) называется
марковским процессом с условными ожиданиями, если существует
семейство {?sp s е Т} условных ожиданий ?д из si в sis\, s^T,
удовлетворяющее условиям ? 1-?3 (и ?4 в стационарном случае) и
марковскому свойству М'. Для Ц7*-процесса необходимо, чтобы
{?S]: s е7} было нормально.
Теорема 2.1 выполняется для марковского процесса с условными
ожиданиями независимо от нормальности отображений Zs, о которая
требуется лишь для Д7*-процесса. Более того, если Т = R и процесс
стационарный, то Zs, s+t не зависит от s при всех t ^ 0 согласно ?4, т.
е.
Zt-Zs<s+t для всех seR, t^O, (2.7)
определяет {Zt\ t ^ 0}-полугруппу вполне положительных,
сохраняющих единицу отображений 38-*-<%, оставляющих ин-
вариантным состояние ш0 = ш ° j0 (=a>ojt для всех le R).
Очередное утверждение является прямым следствием теоремы
2.1.
Следствие 2.2.1. Времяупорядоченные корреляционные ядра wt,
teT, t = (^, ..., /"), tx ^ ... ^tn, марковского процесса с условными
ожиданиями даются формулой
щ (а; Ь) = со о /(> (a\Z^ ^ (а* .. • Z^ ^ (а\Ъп) . . . ft2) (2.8)
для всех а. - (аи ..., ап), b=(6i, bn) из 38Если процесс
стационарный, то
wt (a; b) = co й{а\ги_^(а\ ... ... b^b^ (2.9)
Соотношения (2.8), (2.9) известны в физической литературе под
названием "квантовая регрессионная теорема".
Определение. Будем говорить, что случайный процесс {si-,
{/<},">) удовлетворяет регрессионному соотношению, если
существует семейство {ZS: с s < t) отображений 38 на себя, таких что
выполняется соотношение (2.8).
Определение. Алгебра si называется порожденной вре-
мяупорядоченными произведениями как векторное пространство,
если для каждого s е Т, sis\ (или s4-\s) является замыканием линейной
оболочки произведений jt (bn) ... jt (6^
Квантовые случайные процессы
29
в подходящей топологии, причем Ь\, ..., Ьп^Д1 и t\ ^ ... ... ^ Д ^ s
(или й ^ ^tn)-
Теорема 2.2.2. Пусть (si, {/(},w) есть случайный процесс, причем
для каждого s еГ ГНС-представление sis\, определяемое со |~ sis\,
является точным и алгебра si порождается времяупорядоченными
произведениями как векторное пространство. Тогда, если
выполняется регрессионное соотношение, (si, {/'<}, со) является
марковским процессом с условными ожиданиями.
Доказательство. Дадим детальное доказательство для случая ^-
процесса, обобщение на С*-случай будет очевидно. Отождествляя si
с алгеброй n(si) в гильбертовом пространстве Ш с циклическим
вектором Q, обозначим через замкнутое подпространство /lS|Q в Ж и
через PS] - ортогональный проектор на него для всех seT. Для
любого элемента верно PS]XPS] е ^(ЖД, и можно определить ото-
бражение jxs): s4s\s\) как ns\ (а) = РS]uPs\, где а е sis\.
Тогда совокупность (Жь nS], Q) есть ГНС-конструкция,
ассоциированная с (sis\, w I1 Ж]), поскольку Ps\ коммутирует со
всеми элементами ,sis\ и оставляет Q инвариантным. По
предположению нормально и точно, следовательно, существует
отображение я"1, являющееся нормальным *-изомор- физмом. Из
формулы (2.8) и условий теоремы следует, что
