Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
РФ, (fli)' • • • hn (апУ itn ibn) • • • it, (ьд ps] =
= Ps](is°Zs,tl)(aiZtl,t2(a2 Ztn_vtn(anbn)
для всех наборов (t\, ..., /,)еТ, таких что s ^ ^ ...
... ^ tn, и для всех а\, ..., а", Ьи ..., Ьп е
Из этой формулы и условий теоремы следует
Ps\StlsPs] Ш -чщ (sis) Si JXS) (j^s]), (2.10)
так как отображения a->Ps]aPs] и а->-я<](а) ограничены и
нормальны, а л<,| есть представление и sis есть ^'-подалгебра 1Т'*-
алгебры sis]. Для всех aeiii и ie^s] мы находим, что Ps\abPs\
принадлежит (^Д, поскольку
Рs\abPs] = Рs\aPs\bРs] - Рs\aPцЛз] (b).
По предположению si есть замыкание линейной оболочки элементов
{ab\ a^s4\s, 6еА|}, следовательно, Ps\siPs\ - ~ ns\(sis\). Теперь
определим отображение ?S|: si- -"¦ s4s\ по формуле
ps] = (2Л1)
30
Л. Аккарди, А. Фриджерио, Дж. Т. Льюис
для всех а е оно вполне положительно, сохраняет единицу и
нормально и, согласно (2.10), оно удовлетворяет марковскому
свойству М. Для а е М- и i)G зФ8\ имеем
Es] (ab) = n-j1 (Ps]aPslbPs]) = (/>Я5]) Ь = Es] (а) Ь,
так что ES] удовлетворяет условию ?1 (т. е. Es\ есть условное
ожидание из si в ^sj); оно удовлетворяет условию совместности Е2,
так как Рs\Q = й. Условие проективности Е3 следует из того, что
{Es\: ssT) определено единственным образом. То же самое
доказательство справедливо в С*-слу- чае при соответствующей
замене топологии.
2.3. В этом и последующих подпунктах мы построим теорию
возмущений для стационарных марковских процессов с условными
ожиданиями, которая основана на обобщении
(8,9] идей, лежащих в основе формулы Фейнмана - Каца.
Определение. Пусть {/П}, со)-стационарный марков
ский процесс с множеством значений параметра R, с группой
автоморфизмов {щ: / е R} и условными ожиданиями
{Ety. /е?}. Семейство {ту. 15з 0} вполне положительных,
сохраняющих единицу отображений называется мар
ковским коциклом относительно (s4-, {/(},со), если выполняются
следующие условия:
MCI: ms+t = tnsusmtu_s для всех s, t"^ 0;
МС2: mt отображает на себя при всех / ^ 0;
МСЗ: mt коммутирует с Ец при любых / ]>0.
Теорема 2.3. Пусть {тц / ^ 0} - марковский коцикл относительно
стационарного марковского процесса с условными ожиданиями {s&,
{/<},">) над . Тогда равенство
Zt = r0E0]mtjt, t> 0, (2.12)
определяет полугруппу вполне положительных, сохраняющих
единицу отображений SB на себя, и
?о,("у.,w •••">,л w "v<"w т' Л (*¦))"
= (А ¦¦¦ Z,<У",)
(2.13)
для всех 0 в R, аи . . ., ап, Ьи .. ., Ьп в 3S
и для всех п.
Доказательство (см. [8, 9]). Для всех Ь <= SS, mtjt(b)<= s?[a
согласно МС2, так что Еоупф{Ь) е согласно марковскому
Квантовые случайные процессы
31
свойству М'. Тогда Zt определено, вполне положительно и
сохраняет единицу по построению. Более того, для всех
s, t ^ 0 имеем
= h^,o]msllshh^'o\mtuth
= j*E0]tnstisE0]mtuij0 (так как /0у* - тождественное
отображение
kEo]msEs]u/ntutio (по ?4)
= ilE0]Es{msusmtutio (по мсз)
= j'0E0[msusmtutj0 (по ?3)
= /о?о,"г,+А-+Л (по мс{)
- Zs+t-
Равенство (2.13) может быть получено заменой Е0\ в левой части на
?о]?<,] • • • чт0 допустимо в силу
Е3, и ис
пользованием ?1, МСЗ и (2.12) (см. доказательство теоремы 2.1).
2.4. Рассмотрим стационарный марковский процесс с сильно
непрерывной группой автоморфизмов {нд /eR), инфини-
тезимальный оператор которой обозначим б. Тогда полугруппа \Zt =
jlE0]utjv; 1^0} также сильно непрерывна, и ее инфинитезимальный
оператор обозначим L. Положим, что и есть самосопряженный
элемент и что {ид /eR) есть сильно непрерывная группа "--
автоморфизмов s4- с инфинитези- мальным оператором
б = 6 + / [/о(и),.] на
Лемма 2.4.1. Семейство {mt: t^O}, определяемое равенством
mt = Htu_t, 1^0, (2.14)
является марковским коциклом. Соответствующая полугруппа {Z =
j0E0]mtjt: /^0] сильно непрерывна и ее инфинитезимальный оператор
имеет вид
l = L + i[v,.] на 3){L). (2.15)
Доказательство. Для всех а е s4- и t ^ 0 имеем (см., например,
[28])
и, (") = "+?,•" J...J Ц М, [..., [;,,М,
"]...]] X
Я-1 0<<,<... <tn<t
Xdll ... dtn = MtaM], (2.16)
32
Т Аккарди, А. Фриджерио, Дж. Т. Льюис
где Л^е^оП^ь
СО
Mt = 1 + J] г" S'-'S jt{v) ... jtn{v)dix...(ltn. {2.17)
п-1 о<г,<... <tn<t 1
Тогда ясно, что {mt: t ^ 0} удовлетворяет МС2 и МСЗ, и
удовлетворяет MCI, если {ut} и {"/} образуют группы. Наконец,
для любого b е мы имеем равенство
Г1 [Zt (Ь) -Ь\ = Г1 [Z, ф) - й] + г1 [Z (6) - Z, (6)1 =
= r![Z,(6)-&l Ь /о^о, [Г1 (m, - 1) (6)].
Из явного выражения (2.16) для mt следует, что второе слагаемое в
правой части стремится к i\v, •] при t-*- 0, следовательно, (2.15)
доказано.
Лемма 2.4.2. Определим jt = iltjo, t<=R, и положим
sit = jt$> - V {s4's- s < /},
t=V {-Жи- /<"}. (2.18)
Тогда
sit\ = s&t\ для /^0 и s?\t - s4\t для /^0. (2.19)
Доказательство. Из доказательства леммы 2.4.1 ясно, что sit\ =
s&t\ при всех / ^ 0. Поменяв местами щ и ut, убедимся, что обратное
соотношение также истинно. Вторая половина (2.19) доказывается
так же, но ряды теории возмущений рассматриваются для и
