Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Квантовые случайные процессы и открытые системы" -> 9

Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.

Холево А.С. Квантовые случайные процессы и открытые системы — Москва, 1984. — 220 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviesluchaynostiprocessiiotkritie1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 78 >> Следующая

единицей, которая не замкнута (будучи объединением всех
локальных С*-алгебр), Т - R есть временная ось; дополнительные
аксиомы означают в этом случае, что процесс стационарен и
детерминирован: jt(tM)" = jo(&)" для всех t е R.
1.7. Если есть С*-алгебра и {Д0): / е Г} - семейство
сохраняющих единицу -s-гомоморфизмов то можно
доказать, что проективное семейство {wt- teT} корреляционных
ядер иад 38 определяет состояние на тогда и
только тогда, когда алгебраические соотношения алгебры 5$(0)
выполняются для {wt: t е Т}. Более точно, пусть (s?,{jt},iо) есть
случайный процесс над 38, определяемый семейством {wt: t е Т} по
теореме реконструкции; тогда состояние (о<0) на s?{0) существует,
причем
ш№) (/(О) (а)* ДО) (а; j,)
для всех a, be 38t, teT тогда и только тогда, когда из
о
следует
? л. (•>.)="
для всех конечных наборов {ik: tk е Т, k = 1, . . ., m) и {b*.: b^e^t, m}.
В частности, если (^(0>, {Д0)}, <о(0)) -
случайный процесс, то процесс (s?, {jt}, ш), полученный по теореме
реконструкции, таков, что s4- изоморфно л(0>(^(0)); т. е. все
алгебраические соотношения сохраняются для
S4-, и дальнейшие статистические соотношения могут быть


Квантовые случайные процессы
23
представлены через состояние со(0), если л<0) не является точным.
Сформулируем без доказательства две теоремы о существовании
универсальной С*-алгебры для всех случайных процессов (для всех
симметричных случайных процессов) над заданной С*-алгеброй 2Ё\
они мотивируются предыдущими рассуждениями. Доказательство
теоремы 1.7.1 аналогично доказательству Виннинка [19].
Теорема 1.7.1. Пусть 2ft есть С*-алгебра с единицей и Т -
некоторое множество. Существуют С*-алгебра с единицейлФ и
семейство {jt: (е J) *-гомоморфизмов из 2ft в зФ, такие что любой
случайный процесс {$Ф, {/(}, со) над 32 эквивалентен случайному
процессу {лФ, {/г},й), где только со зависит от (лФ, {jt}, со).
Теорема 1.7.2. Случайный процесс {s^, {jt}, со) над <М, t ёГ,
является симметричным тогда и только тогда, когда он
эквивалентен случайному процессу ((r)т38, {it}, со), где (r)т 2ft есть
С*-тензорное произведение изоморфных копий 32 для всех t е Т, i.t
есть естественное включение 32 как t-й компоненты тензорного
произведения и со есть произвольное состояние на (r)т 32.
Алгебра лФ из условия теоремы 1.6 (см. [19]) есть подалгебра
свободной алгебры, порождаемой прямым объединением
изоморфных копий 32 для всех значений параметра г'еТ; все
алгебраические соотношения в s4- являются следствием того, что {jt:
/ е Т} - ^-гомоморфизмы. Алгебра (r)т92 может быть получена из зФ
путем приравнивания нулю всех коммутаторов между
наблюдаемыми, локализованными в различных временах. Она
является аналогом алгебры L^jjlh-S, ПТ{Ж)) ограниченных
измеримых функций на пространстве траекторий классического
случайного процесса. Конечно, все классические процессы являются
симметричными и вполне симметричными. Симметричные квантовые
случайные процессы над 32 = 32 {Ж) для некоторого гильбертова
пространства 36 изучались в работах Аккарди [3,20].
1.8. Для симметричных процессов теорема реконструкции может
быть представлена в форме, более близкой к первоначальной
теореме Колмогорова [7]; введем вначале удобные обозначения.
Обозначим F(T) совокупность ограниченных подмножеств Т\ для
каждого E^F(T) обозначим через 6§Е множество функций из ? в I,
снабженное операциями поточечного сложения, умножения и
сопряжения; например,


24
Л. Аккарди, А. Фриджерио, Дж. Т. Лыоис
для и р2 из $Е мы имеем (PiP2)(s) = Pi (s) Р2(s) Дли всех se?, Для
каждого / е Т определим действие элементов на J? равенством
(6fp)(l) = йр (f), (ft*p)(s)= р (s) для s ф t. Для двух множеств Е, F
<= F (Т), таких что Е ^ F, обозначим через gFB отображение из в tMF,
определенное для всех sef как (g?P) = Р (s), если s ё ?, и (ДвР) (s)= 1
если Se? Пусть [•]: Т-+F(T) есть отображение, для которого [t] = -
Ui, ¦¦¦> tn} для каждого t = (/b /л)еТ, и обозначим [ • ]: 3§t->^ltl
отображение, действующее согласно формуле
[Ь] (s) = Ц{fe: bk.
Для симметричного случайного процесса (лФ, {jt}, <о) над С'-
алгеброй семейство {ф?: Е ^ F (Т)} функционалов, определенных для
каждого р е $Е как фв(Р) = со (ДЪ'ЛР (*))).
называется семейством функционалов ожидания такого процесса.
Предложение 1.8.1. Семейство (ф?: Et=F(T)} функционалов
ожидания симметричного случайного процесса над 9И
удовлетворяет условиям EF1, ..., EF4\ если это W7*-процесс, то
условие NEF также выполняется:
EFI (проективность): ф^ (g?p) = ФВ(Р)
для всех E^F
из F(T), ре^л.
EF2 (положительность): для всех ? е F (Т)
имеем
Фв(Р*Р)^0 для всех р ёй?;
EF3 (нормированность): для всех Е е F(T) имеем ф?(1?)= 1, где
lB(s)=l для всех s е Е, le(.s) = 0 для s ф Е;
EF4 (линейность): для всех Е ее F (Т) и р е %Е отображение
p(s)i-^Фд(Р) линейно при каждом s е ?;
NEF (нормальность): для всех Е е F (Т), всех t^E и Ре#
отображение b <fE{bt$) нормально.
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 78 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed