Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
определяется как функция на со значениями в С
по формуле
wt (а; Ь) = (0 (y't (a)* yt (b)). (1.2)
В соответствии с предложением 1.1 случайный процесс определяется
с точностью до эквивалентности семейством {art: t е Т} своих
корреляционных ядер.
Предложение 1.2. Семейство {тц(-,-); teT} корреляционных ядер
случайного процесса над $ удовлетворяет формулируемым ниже
условиям СК1, ..., С Кб. Для W*-npo- цесса имеет место также
условие NCK-
СК\ (проективность): для всех t е Т, для k, таких что 1 ^ k ^ п
(t), и для всех a, be 381, таких что ак - Ьк = 1, выполняется
Щ (a; b) = ay?t(?a; kb),
еде kt (/[,..., tk_[, tk+j,..., tn), ka {ct\,..." ak_^, Q-k+u
CK2 (положительность): для всех teT, всех конечных
последовательностей {сге<С; г=1, ..., m}, {br^38t: r =
= 1 m} выполняется
Y CiCjWt (b,-; b/) > 0;
i. i
CKS (нормированность): для всех teT wt (l;
1) = l, еде 1-элемент (1, l)ej?t;
16
Л. Аккарди, А. Фриджерио, Дж. Т. Лыоис
СКА (полуторалинейность); для всех teT, всех a, отображение
bk i->w t (a; b) из $ в С линейно, а отображение ak I-" wt (а; b)
антилинейно для любого k, 1 ^ " (t);
СКЪ (*-условие): для всех teT и п = п(t) выражение wt (а; Ь)
зависит от аргументов ап, Ьп через а*пЬп',
СК6 (мультипликативность): для всех teT, таких что tk - tk~ь
выполняется
wx (а; Ь) = wki{ka\ kb)
для всех a, belt, где ka. - {а{ ukak_u ..., ап) принадлежит ,$?t.
NCK (нормальность): для любого teT и всех а е $t, таких что ап
= 1, п = п (t), и для всех be Ji отображение bn i-" wt (a; b) из $ в С
нормально.
Доказательство. Утверждение доказывается прямой проверкой.
1.3. Пусть - некоторая С*-алгебра с единицей, а Т - некоторое
множество: проективной системой корреляционных ядер над $
назовем семейство {шt: teT} функций wt'. $t X $t1-* С, таких что
они удовлетворяют условиям СТО - cm Если, кроме этого, Ш есть
И7*-алгебра и условие NCK выполняется, то это семейство
называется проективной системой нормальных корреляционных ядер.
Отметим, что для любых teT, Ьей| и а = (blt ..., bn-\, l)e^t
отображение bn'->wt{a\ b) есть положительный линейный
функционал на SS, как следует из условий СК2, СКА и С/С5;
следовательно, он ограничен.
Теорема 1.3 (теорема реконструкции). Пусть $ есть С*-алгебра
с единицей, и пусть {wt'. teT} является проективной системой
корреляционных ядер над $ с множеством значений параметра Т\
тогда существует случайный процесс {зФ, {jt'. teT}, со) над & с
таким семейством корреляционных ядер, и он единствен с
точностью до эквивалентности. Более того, если $ есть \С*-
алгебра и {wt'. teT} удовлетворяет условию NCK, то этот процесс
является W*-процессом.
Доказательство. Реализуем зФ как конкретную С*-алгебру
операторов в гильбертовом пространстве Ж с циклическим вектором
Q, используем СК\, СК2 и СКЗ, чтобы построить Ж и Q, и СКА, СКЪ
и СКЗ для построения отображений jt и алгебры зФ. Сначала мы
построим множество X, включающее все J?t, и положительно
определенное ядро w на X X X. Определим частичное упорядочение
<( в Т: положим s <( t,
Квантовые случайные процессы
17
если n(s)^rt(t) и s может быть получен путем вычеркивания
компонент из t=(/i, /"). Для любых s -
= (si, sm), t=(/i, tm), s <[t, определим целочисленную функцию ks, t
из набора {1, m) в {1 n}
следующим образом:
ks, t (m) = max {/; Д = sm},
ks, t (Г) - max {I: I <ks,t(r + 1), tt = sr}, r < m,
и обозначим через /* отображение, вкладывающее в и имеющее
вид
(а) = {bv *"),
Г 1, если l?=ks,t(r) для всех г=1, т,
* \ ап если l = ks,t(r).
Тогда /{ есть тождественное отображение J?t на себя, и выполняется
равенство /" ° для любых s<^t<^u.
Пусть X - индуктивный предел lirn /*: s t| в категории множеств;
тогда существуют отображения /t: такие
что tt°/* = t's при s t. По условию СД1 справедливо равенство w&{&;
Ь) = д>Д/'а; /*Ь) для всех s <Д и a, bsls; следовательно, существует
ядро w на А'Х^С определяемое выражением w(ita; цЬ) = даДа; b) для
всех а, ЬеА и всех teT, которое положительно определено в силу
условия СК2. Тогда по теореме 1.9 работы [13] существует
минимальное разложение Колмогорова (Ж, v) ядра w, такое что V. Х-
^-Ж, (v(x), v {у)) = w (х, у) для любых х, г/е А- и Ж = =
У{и(х)':хеД.
Обозначим через Ф линейную оболочку элементов {v(x): не!};
она плотна в Ж, и ее элементы имеют вид v (it (b)) для
соответствующих t е Т, be^t. Согласно СК 1, вектор a(/t(l)) не
зависит от teT; обозначим его через й; тогда <Я, Q) = 1 в силу СКЗ.
Для любых бей? и teT определим линейный оператор jt{b),
отображающий ЗЬ на себя согласно равенству /, (b) v (is{а)) = v (Д
Да, &)), где s, / = = (Д1, •••. sm> /) и а, Ь={аи ...,а1п, Ь). Мы имеем
равенство
o("t(b)) = /t(b)Q (1.3)
для всех teT, belt, и /Д1) есть тождественное отображение на себя
согласно СК 1. Пока мы использовали лишь условия СК\, СК2, СКЗ.
Теперь воспользуемся условиями СК2, СК4 и СКЪ для того, чтобы
получить соотношение
| Д (b) v (г5 (а)) |)2 = ws, t (а, b\ а, &X|]b||2aye(a; a)=||6|]2|t)(is(a))|2>
