Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
f°Xt для каждого / е ^! (лемма 2.3 [3]). В этом случае условие
эквивалентности п. 1.1 сводится к равенству конечномерных
совместных распределений вероятностей. Таким образом, мы можем
определить классический случайный процесс как 1Е*-процесс, для
которого алгебры Я и п(яФ) абелевы.
Случайный процесс (s?,{jt}, со) определяет семейство локальных
алгебр, объединение которых порождает для процессов в смысле
Дуба и их некоммутативных аналогов локальные алгебры могут быть
ассоциированы с ограниченными подмножествами Fc^T, если
определить s&F как С*-ал- гебру, порождаемую образами {jt{b)\ be J,
leF}. Обобщенные случайные процессы в смысле Гельфанда [15] и
локальные теории поля в смысле Хаага и Кастлера [4]
также дают примеры случайных процессов с заданным множеством
значений параметра и соответственно определенными локальными
алгебрами. В этих случаях может быть удобно считать два процесса
эквивалентными, если существует унитарное отображение U из Ж(1) в такое что
UQn) = Q(2) и Unil] (s?(py' - л(2) U
для всех локальных
алгебр 6Фр.
Если применить такое определение к случайным процессам в
смысле Дуба, то получится слишком грубая классификация
случайных процессов. Это определение подразумевает, что два
случайных процесса {/(/'}> (r)и)), (=1,2, над &
эквивалентны, если существует семейство {at: t^T) "-автоморфизмов
алгебры <%, такое что
= ",2>(Л?(а
для всех аи ап, Ьи ..., Ьп е Ш и ^ tn^T. Например,
рассмотрим {Т{р: t^Tj, г=1, 2, - две группы измери
мых отображений измеримого пространства (S, S) на себя.
Определим т(р: 3B = L°°(S, S)->!%, т(,° (/) = / о ^<" =
Квантовые случайные процессы
21
= s4P) ~ у(Ч = у(2)-естественное отображение 38 на
себя для каждого R. Пусть v - некоторая вероятностная мера на
(S,#) и зададим состояния со(г) на равенством
<в(') (/<'> ("[)' • • • /<'в> (ап)' j\l (Ъп) ... /<'> (&,)) =
" V (я,)* ... т"> (.")* (*") . .. Т(/) (*,)), /=1,2;
тогда процессы <?(г') будут эквивалентными, при
чем at будет равно т(r) ¦т(й для каждого / е SR.
Корреляционные ядра определяются величинами ад(Ь; Ь) на
диагонали 38t'X.38t', оии являются неотрицательными числами и
могут в принципе быть заданы через последовательность
измерительных процедур [4, 5, 6]; если параметр t есть время, то
измерению доступны лишь ядра с ... ^/п, а ядра с произвольным
порядком могут быть получены из времяупорядоченных, если
известны коммутационные соотношения между наблюдаемыми для
разных моментов времени. С математической точки зрения
корреляционные ядра могут служить заменой конечномерных
распределений вероятностей классической теории (совместные
распределения не существуют для некоммутирующих наблюдаемых в
квантовой теории [16]), которые являются основными объектами в
хорошо известной теореме Колмогорова [7] о восстановлении
классического процесса по проективному семейству конечномерных
совместных распределений. Наша теорема 1.3 дает некоммутативную
версию этой процедуры и позволяет восстановить случайный
процесс по проективному семейству корреляционных ядер.
В классическом случае теорема Колмогорова дает несколько
больше: оиа позволяет доказать, что любой классический случайный
процесс над заданной алгеброй 38 = = L°°(S,<!f) может быть
реализован заданием состояния й на некоторой универсальной
алгебре с универсальными включениями/< алгебры 38 в зФу такими
что все соотношения между подалгебрами и зФ-t для s ф t даются
одним только состоянием; мы приведем ниже (теорема 1.7.1)
некоммутативную версию этого аспекта теоремы Колмогорова. В
классическом случае в качестве алгебры st- может рассматриваться
L°° (II7-S, Пт-е?), и аналитический смысл теоремы Колмогорова
состоит в том, что при слабых топологических ограничениях на S
состояние со порождает счетно-аддитивную меру на Пг(5, <??);
иными словами, это есть критерий нормальности предела
последовательности локально нормальных состояний. Мы не будем
рассматривать некоммутативный аналог этого утверждения.
22
Л. Аккарди, А. Фриджерио, Дж. Т. Льюис
Первая часть доказательства теоремы реконструкции использует
чуть больше, чем теорема 1.9 [13], а также понятие индуктивного
предела в категории множеств, и является весьма общей: она
выполняется для всех множеств Я с выделенным единичным
элементом. По смыслу это утверждение является общей частью всех
теорем реконструкции; например, теорема реконструкции Вайтмана
[17] соответствует случаю, когда Т есть пространство основных
функций ^(R4) и есть алгебра (ненормированная) полиномов
переменной ф: тогда /'f(l)=l и jf(9,n) = 9,(f)n для каждой функции
/e^R4); конечно, при этом существует еще дополнительная
структура, связанная с Пуаикаре-инвариантностью и локальной
коммутативностью, которые воплощаются в дополнительных
аксиомах Вайтмана. Результат Дабина - Сьюэлла [18] можно также
рассматривать как теорему реконструкции, и доказывать его можно с
помощью этой процедуры: тогда есть -s-алгебра с нормой и
