Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
вопрос. Интуитивно, линеаризационная устойчивость означает, что теория
возмущений первого порядка справедлива вблизи х0 и не возникает ложных
направлений возмущения.
Для общей теории относительности вопрос о линеаризационной устойчивости
весьма важен. В литературе часто предполагается, что решения
линеаризованных уравнений дают приближения к решениям точных уравнений.
Однако Брилл и Дезер [23] показали, что для
*) Как отмечается в работе [104], в общих чертах это сводится к
утверждению, что «изотропные конусы материальных полей либо совпадают
(как, например, в случае системы Эйнштейна — Максвелла) с изотропным
конусом пространственно-временной метрики, либо лежат внутри него».
140
А. Фишер, Дж. Марсден
плоского трехмерного тора с нулевой внешней кривизной имеются решения
линеаризованных уравнений связи, которые не аппроксимируются кривой
точных решений. Они привели доводы, основанные на втором порядке теории
возмущений, в пользу того, что при условии tr я=0 уравнения связи не
имеют иных близлежащих решений, за исключением модификаций, которые по
существу тривиальны, хотя у линеаризованных уравнений имеется много
нетривиальных решений (полное доказательство см. в работе 1881). Это
утверждение аналогично следующей геометрической теореме изоляции 1891 и
доказывается с использованием тех же технических приемов *)
Теорема 30
Если М компактно и gF— плоская метрика на М, то имеется окрестность Ugp
метрики gF в пространстве метрик <Л, такая. что любая метрика g в
окрестности Ugp с R (g)^0 является плоской.
Доказательство восходит к версии леммы Морса, приспособленной для
бесконечномерных пространств; при этом требуется уделить особое внимание
координатной инвариантности кривизны.
Результаты по линеаризационной устойчивости получены независимо Шоке-Брюа
и Дезером [49] для плоского пространства и Фишером и Марсденом [85, 87,
881 для общего случая пустого пространства-времени с компактной
гиперповерхностью. Методы, используемые в этих двух случаях, довольно
различны. В работе [154] метод Шоке-Брюа и Дезера обобщен на случай
пространства-времени с компактной гиперповерхностью; см. [53]. В работе
[61] получены результаты для пространства-времени Робертсона—Уокера, а в
работе [2, 3] — для калибровочных полей, взаимодействующих с гравитацией.
Результат для плоского пространства состоит в следующем утверждении.
Теорема 31
В окрестности пространства Минковского уравнения Эйнштейна для пустого
пространства Ein(U)g)=0 линеаризационно устойчивы.
Эта теорема связана с необходимостью использования асимптотически плоских
пространств и подходящих функциональных пространств с определенными
асимптотическими условиями. Здесь мы рассмотрим только компактный случай;
некомпактный случай обсуждается в работах [92—94].
Начнем с определения линеаризационной устойчивости уравнений Эйнштейна в
пустом пространстве.
*) Этот результат был недавно глобализован Шёном и Яо как частный случай
их решения проблемы массы в обшей теории относительности. Например, они
доказали, что на трехмерном горе любая метрика с R{g)^0 является плоской.
//. Проблема начальных данных
141
Пусть Ein ((41go)=0. Инфинитезимальная деформация метрики i4,g0 есть
решение U)h?St(Vt) линеаризованных уравнений
DEin(<4’go)-<47t = 0.
Уравнения Эйнштейна линеаризационно устойчивы в окрестности u’g0 (или
метрика u,g0 линеаризационно устойчива), если для каждой
инфинитезимальной деформации (4>Л метрики <4lg0 существует ^-кривая
u,g(p) точных решений уравнений поля в пустом пространстве (на том же
самом 1'4),
Ein (U)g (р)) = 0,
таких, что l4'g(0)=<4,go, du>g(0)/dp=u,ho.
Чтобы быть совершенно строгим, это определение нуждается в небольшом
уточнении. А именно, для любого компактного множества Dс VA требуется
лишь, чтобы <4>g(p) было определено при |р|<с <Се, где в может зависеть
от D. Это обусловлено тем, что, вообще говоря, <4lg(p) будет развитием
кривой данных Коши (g(p), л(р)) и поэтому u,g(p) при |р|<е будет
равномерно близкой к <4,g0 на компактных множествах, но не на всем VA.
Поскольку мы здесь фиксируем топологию гиперповерхности М, все развития
Коши ведут топологически к одному и тому же пространству-времени V4»RxM,
и, следовательно, фиксация Vt не является серьезным ограничением. Совсем
иное дело, конечно, топологические возмущения.
Поскольку используется линеаризованная эйнштейновская динамическая
система, линеаризационная устойчивость уравнений Эйнштейна эквивалентна,
как мы увидим далее, линеаризационной устойчивости уравнений связи. В
действительности, линеаризационная устойчивость корректной
гиперболической системы дифференциальных уравнений в частных производных
эквивалентна линеаризационной устойчивости любых имиошихся нелинейных
связей.
Через линеаризованное отображение DGMg, л) можно дать определение
необходимого и достаточного условия линеаризационной устойчивости в
окрестности (g0, л0) уравнения связи
<D(g, л) = 0
следующим образом: если (Л, со) ? S,x удовлетворяет линеаризованным
