Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
Монкри дает тогда необходимое и достаточное условие линеаризационной
устойчивости пространства-времени с компактными пространственноподобными
гиперповерхностями Коши.
Результат Монкри все же не обеспечивает необходимых и достаточных условий
инъективности [EXD(g, л)]* через (g, л) (условия Сзе, Се и Си достаточны,
но не необходимы), но зато обходится без условия tr л'= const, которое,
таким образом, становится менее важным.
Теорема 34 [145]
Пусть u)g — решение уравнений Эйнштейна в пустом пространстве
Ein(‘4'g)=0. Пусть 20=»о(М) — компактная гиперповерхность Коши с
индуцированной метрикой g0 и каноническим импульсом л0. Тогда ker [IXD
(g0, л0)]* (конечномерное векторное пространство) изоморфно пространству
векторных полей Киллинга пространства-времени U)g. В действительности
(Ух. Kn)€ker[DO(g0, л0)]*,
если и только если в U)g существует векторное поле Киллинга <4)У,
нормальными и касательными к 20 составляющими которого являются Ух и Уii-
Доказательства, альтернативные доказательству Монкри, см. в работах [56—
58, 92].
В качестве важного следствия этого результата мы замечаем, что условие
ker IEXD(g0, л0)1* = {0} не зависит от гиперповерхности 20 (поскольку оно
эквивалентно отсутствию векторных полей Киллинга, что не зависит от
гиперповерхности). Это условие, очевидно, не меняется также при переходе
к изометрическому пространству-времени.
В результате приходим к следующей основной теореме о линеаризационной
устойчивости.
//. Проблема начальных данных
145
Теорема 35
Пусть u>g0 — решение вакуумных уравнений Эйнштейна Ein((4,g0)=0.
Предположим, что пространство-время (У4, <4>g0) имеет компактную
поверхность Коши Е0.
Тогда уравнения Эйнштейна на У4
Ein ((4)g) = 0
линеаризационно устойчивы в точке» (4)g0, если и только если (4,g0 не
допускает ни одного векторного поля Киллинга.
Мы завершим этот раздел кратким рассмотрением случая, когда u)g0 не
обладает линеаризационной устойчивостью. Цель состоит в том, чтобы найти
те необходимые и достаточные условия на решение (4Vt линеаризованных
уравнений, при которых (4>Л касается кривой точных решений, проходящей
через (4>g0. Необходимые условия будут выведены; относительно
достаточности см. [95].
В теореме 32 мы показали, что если (4)Л касается кривой точных решений и
(N, X) ? ker [D<t>(g0, л0)]*, то
X), D4>(gB, л„).((А, со), (А, со))> = 0.
Следуя [148], мы можем переписать это условие второго порядка через
метрику пространства-времени точно так, как уже было переписано условие
kerEXt>(g0, л0)={0} (см. альтернативные доказательства в работах [92,
95]).
Теорема 36 [148]
Пусть Ein(U)g0)=0 и U)h ? S2(V4) удовлетворяет линеаризованным уравнениям
D Ein(<4,g0)-U)A = 0.
Пусть <4)У — векторное поле Киллинга метрики 14’go («, следовательно,
14’go линеаризационно неустойчива).кПусть Е0—компактная гиперповерхность
Коши и пусть (Уj_, Ун) —нормальная и касательная компоненты (4)У на Е0.
Тогда необходимым условием второго порядка для того, чтобы <4)А было
касательно к кривой точных решений, является равенство
J <D2 Ein ((4'g0) • (U)A, t47i), (<4>У2о, <4>ZSo)>dp(g0) =
2.
= S <(^x, K„), D^(g0, n,).((h,ffl), (A, co))> = 0. (14)
Если Ein((4,g0)=0=D Ein(<4’g0) •<4,A0l to D2Ein((4)g0) •(<4)A, U)A) имеет
дивергенцию, равную нулю [171]. Таким образом, если <4,У — векторное поле
Киллинга, то дивергенция векторного поля
и>у = шу. [D2 Ein ((4’g0) ? (l47z, l4)/z)]
146
А. Фишер, Дж. Марсден
также равна нулю. Следовательно, необходимое условие второго порядка
J <U'W, “>22.>фЫ = О х.
на деформацию первого порядка не зависит от гиперповерхности Коши, на
которой оно накладывается. Тогда интеграл от <4>Н? по гиперповерхности
Коши представляет собой сохраняющуюся величину для гравитационного поля,
построенную из решения (4)А линеаризованного уравнения и векторного поля
Киллинга (4)К. Интересным и важным свойством этой сохраняющейся величины
Тауба является, как это видно из теоремы 36, тот факт, что решение
первого порядка (4Vi, из которого построено U)W, не является касательным
к какой-либо кривой точных решений, если эта величина не равна нулю.
Таким образом, для пространства-времени, которое не является
линеаризационно устойчивым, сохраняющая величина Тауба играет решающую
роль для ответа на вопрос о допустимости возмущения (47i (т. е. о том,
является ли оно касательным к какой-либо кривой точных решений).
в. ПРОСТРАНСТВО
ГРАВИТАЦИОННЫХ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
Теперь мы дадим обзор некоторых результатов симплектической геометрии,
которая служит основой для единообразного описания различных расщеплений,
возможных в общей теории относительности 14]. Эти результаты основаны на
общей редукции фазовых пространств, для которых имеется инвариантная
относительно действия некоторой группы гамильтонова система 1142].
Последующее применение этих результатов ведет к построению
симплектического пространства гравитационных степеней свободы 193] 4).
Основополагающими по содержанию данного раздела являются работы 11, 30,
