Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
Ft,, (*)) сильно измерима в s, поскольку ф(х, у) непрерывна при хфу.)
Щ
Этим завершается наше описание абстрактной нелинейной теории. Теперь мы
установим, как эта нелинейная теорема существования и единственности
применяется к квазилинейным уравнениям типа уравнений (2) и (3).
//. Проблема начальных данных
127
Сначала рассмотрим случай уравнения первого порядка
т
о0 (t, ы) -37 = X а1 х> н)"^7 + а (<• х> “)• (6>
Предположим, что
(I) s>y m-fl и аа, а — функции класса С* + 1 по переменным
t, х, и (и, возможно, по и определены локально);
(II) по и локально-равномерно выполняются линейные условия
(I)—(III) теоремы 14.
Теорема 20
При этих условиях для уравнения (6) справедливы теоремы 16, 17 и 19, т.
е. (6) порождает единственную локальную эволюционную систему s в
X=Hs~l(R.m) при Y=Hs(Rm) и Z—Z'=L\Rm). Ft , отображает Y в Y непрерывно и
при фиксированных t, s Р-дифференцируемо как отображение Y в X.
Доказательство со всеми подробностями требует длинных рассуждений об
оценках в пространстве Соболева для проверки выполнения принятых гипотез,
но оно довольно прямое. Подробности см. в работах [112, 113]. Заметим,
что можно также выбрать X=Z—Z' = =LJ(Rm), Y=HS(Rm), но выбор, сделанный в
теореме 20, подходит для теоремы 19. И опять громоздкость и технический
характер деталей применения теоремы 19 к уравнению (6) удерживает нас от
их изложения. Это снова полустандартное упражнение по теории пространства
Соболева.
В случае уравнения второго порядка мы поступим следующим образом.
Рассмотрим
апо (Л SI u> Vw) 0^2 = ^«1 ai] (^t xt u> ^u) gxj "4”
m
+ 2 ? «о/ (t, x, u, Vu) + a (t, x, u, Vu). (7)
Здесь
г — { ^u du du \
v“ ~ U*1............ ’ ~dt) •
Предположим, что
(I) aap, a — функции класса Cs+l по всем переменным (и, возможно, по и
определены локально);
(II) по и локально-равномерно выполняются линейные условия
(I)—(III) теоремы 15.
128
А. Фишер, Дж. Марсден
Теорема 21
I) Если s>j-m+l, то для уравнения (7) справедливы теоремы 16, 17 и 19,
причем
Х = Н* (R «)xtf'-»(R-),
Z = Z' = ^ (R“) х н° (R-),
Y = Hs+1 (Rm) x Hs (R“),
m. e. (4.7) порождает единственную локальную эволюционную систему Ft, a
'? Y Y, которая непрерывна и при фиксированных t, s Р-дифференцируема как
отображение из Y в X.
(II) Если ааР не зависит от Х/и, те же утверждения справедливы при
s>V2m.
Детали доказательства см. в работе 1108].
Как будет видно из следующего раздела, с общей теорией относительности
связан случай (II). Заметим также, что при т=3 решения (и, и) будут
лежать в Y=HrxH' ’, где /•>2,5. Например, в этом случае уравнение (7)
задает корректную задачу для и в Н3. (Отметим, что при этом и принадлежит
лишь к классу С1 и нет необходимости, чтобы и принадлежало классу С2.)
Для гиперболических систем теоремы 20 и 21 являются наиболее сильными из
известных результатов, хотя эти задачи рассматривались многими авторами
*), такими, как Шоке-Брюа [32, 351, Курант и Гильберт [60], Дион [67],
Френкл [96], Кржижанский и Шаудер [118], Лере 1128], Лихнерович [133],
Лайонз [137], Петровский [159], Шаудер [164] и Соболев 1169].
4. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Мы начнем с задачи в пустоте, а затем перейдем к рассмотрению гравитации,
взаимодействующей с другими полями. Дадим вначале обзор классических
работ Лихнеровича [130] и Шоке-Брюа [32] и рассмотрим введение
гармонических координат. Мы будем кратки, поскольку все это изложено в
работах [35, 104]. Наш главный результат состоит в том, что для
пространства-времени класса Hs с s>2,5 имеют место достаточно интересные
теорема существования 23 и теорема единственности 27 для решения задачи
Коши. Этот результат является в настоящее время наиболее сильным из
известных утверждений для задачи Коши.
Для простоты примем, что мы имеем дело с R4, но ввиду гиперболичности это
не ведет к существенной потере общности. В релятивистской теории пустого
пространства мы ищем лоренцеву метрику gnv(f. х1), при которой кривизна
Риччи равна нулю, т. е.
1) В теории относительности некоторые частные результаты для Н3 были
приведены Хокингом и Эллисом ([104], с. 251).
//. Проблема начальных данных
129
gnv(t, х‘) должна удовлетворять системе
f H„(g„ &)-*
где #uv(?nv> dg^Jdx*) представляет собой рациональную комбинацию из и
ogllv/dxa со знаменателем det g^^O. Отметим, что контравариантный тензор
gwv является рациональной комбинацией из guv со знаменателем det guv^O,
Введем G^-R^-Vig^R — тензор Эйнштейна, где R=ga^Ra&— скалярная кривизна.
Тогда, как известно, G^ содержит произвольные g^ по времени только
первого порядка. Поэтому для вычисления G?(0, х‘) достаточны одни лишь
данные Коши guV(0, х‘) и dguv(0, x‘)ldt и потому уравнение G^(0, х')=0
представляет собой условие на данные Коши, необходимое для того, чтобы
пространство-время guv(*. х') имело именно эти данные Коши и
удовлетворяло уравнению GuV=0, которое эквивалентно уравнению /?uv=О-
Формулировка задачи Коши для системы /?Цу=0 в части существования решения
