Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хокинга В. -> "Общая теория относительности " -> 58

Общая теория относительности - Хокинга В.

Хокинга В. Общая теория относительности — М.: Мир, 1983. — 455 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayatepriyaotnositelnosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 222 >> Следующая

Выше было показано, как данное утверждение следует непосредственно из
теоремы 21 и леммы 22. Чтобы дать иное доказательство, использующее
теорему 20, мы преобразуем систему R($=0 к системе первого порядка, для
чего введем 10 новых неизвестных kvv—dg^Jdt, 30 новых неизвестных
gllv,l=dgilJdxi и рассмотрим
5*
132
А. Фишер, Дж. Марсден
квазилинейную систему первого порядка из 50 уравнений:
Мы рассматриваем Нкак полином по g^^ и и рациональную функцию по g^v со
знаменателем det g»^0. В качестве первого шага распространим наши
начальные данные на все пространство R*, скажем, приравнивая их метрике
Минковского вне некоторого компактного множества и рассматривая систему
(8) на R®. Отметим, что при такой постановке данные Коши не обязательно
должны удовлетворять условию <3^=0 в переходной области.
Матрица gu имеет обратную gJk—{gjogkJgoo), т. е. giJlg]h— —
&/«gfco/goo)]=6ft. и поэтому вторую подсистему из 30 уравнений в (8)
можно обратить, что дает
dg(tv. i _ д^цу /Q4
dt дх> ' ^ ’
Для класса С* уравнение (9) означает g^^dg^dx1, и, следовательно, система
(8) эквивалентна системе Rfy=Q.
Пусть
есть 50-компонентный вектор-столбец, где guv,, расписывается в виде
Введем О10 — нулевую матрицу 10x10, /10 — единичную матрицу 10 х 10, а
также Л°(и)=Л°^, g^.i, и Ai(g^v, g^j, А>цу) —
(8)
#ЯЯ,|
g«n ,Я
gas.aJ
//. Проблема накальных данных
133
матрицы 50 x 50, определяемые выражениями
А° (filiv, gtiv, i> ^nv) —
710 01в О10 Qio QXO
Qio gll /Ю gl*/ 10 giajio Qio
Qlo g\tj 10 git/м gti /10 010 •
Qio gia/io g* s/ю Qio Ql°
010 О10 Qio 010 gOO/10
'010 О10 О10 Qio 01"
О10 О10 Qio Qio gj 1 /10
010 О1" О10 010 g/*/Ю t
О10 01# О10 0lu gi* /10
QlO gl//10 g*J /10 gS//io 2g/°/10
At (Suvi g(IV, It ^nv) —
и пусть В (g^, gdv.i» *uv) — 50-компонентный вектор-столбец:
В (g|iv> guV. It k\L\) '
«|tv
0*°
4 2H(!V (g|iV> guv. It ^nv)/
где 030 — 30-компонентный нулевой вектор-столбец.
Отметим, что Л°(ы) и AJ(u) симметричны, а Л°(ы) положительно определена,
если gимеет лоренцеву сигнатуру. Прямое вычисление показывает, что
квазилинейная симметричная гиперболическая система
Ао(и)^. = А1(и)^ + В(и)
является как раз системой (8). Из теоремы 20 следует, что для данных Коши
f ?l*v (*') и (х‘) = I guv. ( (*')
\^Мv (х‘ )
класса Соболева Hs~l, s—1>у«+1 существует е>0 и решение
/fitiv (^, X1)
и (t, х‘) = I guv. ( (t, х‘)
\кц\ (t, х')
класса Hs~l. По лемме Соболева, u(t, х‘) принадлежит также классу С*, и
потому из второй группы уравнений в системе (5) следует, что
guv.^dg^Jdx1'. Поскольку (g^Vii, kllv)=(dgllJdxi, dg^dt) принадлежит
классу Я3-1, g,iV(/, х() в действительности принадлежит классу Hs.
Непрерывная зависимость этих решений от начальных данных следует из общей
теории.
134
А. Фишер, Дж. Марсден
Чтобы из результата для R" получить результат для области ?2, можно
воспользоваться стандартными утверждениями относительно области
зависимости (см. 1601).
Поскольку область ?2 ограничена, принадлежность (g^, knv) классу С°
означает, что решение находится на пересечении всех пространств Соболева
и, следовательно, также принадлежит классу С”; здесь мы снова пользуемся
общим результатом о регулярности для симметричных гиперболических систем.
Согласно лемме 22, найденная таким образом метрика g^it, *0 удовлетворяет
уравнению /?ц?=0.
В то время как из подхода, основанного на системе второго порядка,
следует s>2,5, например s=3 [см. теорему 21, (II)], подход, основанный на
системе первого порядка, в рассмотренном виде дает s>3,5, например s=4.
Результат может быть уточнен, но для этого требуется знание конкретной
структуры уравнений и эллиптичность. По этой причине методы, основанные
на системе второго порядка, представляются более привлекательными.
В случае асимптотических условий следует проявлять некоторую
осторожность. Пространство-время с пространственным поведением 1/л не
будет принадлежать классу Hs. Зафиксируем фоновое пространство-время gс
заданным стремлением к метрике Минков-ского на бесконечности. Например,
коэффициент при 1/л может определяться некоторой конкретной массой; g&p
может быть решением типа Шварцшильда со сглаженной сингулярностью при
л=0.
Введем переменные uap=gap—gbap и будем решать уравнение для них. В
отличие от самой метрики gaP переменные иав принадлежат классу Hs.
Наложим на gap следующие условия:
^Р€СГ’(К3, R), gU?Hs(R.*,R),
^ 6№(RS, R), 0<сс, р<3, 1<(<3. (10)
дх‘
В переменных иар уравнения (8) принимают вид (7). Поскольку в
коэффициенты при производных второго порядка не входят производные и,
требуется лишь, чтобы выполнялось условие s>(x/2)n.
Введем обозначение Н\ъ^ для пространства метрик gaP, таких,
что gap—g^p € Hs с соответствующей топологизацией. Тогда теорема 21
сводится к следующей.
Теорема 24
Допустим, что выполнены условия (10). Тогда для s>l,5 и начальных данных,
заданных в некотором шаре вокруг (gap, gap) в /7^‘X Н\^р, уравнение (8)
имеет единственное решение в том же пространстве в интервале времени [0,
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 222 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed