Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хокинга В. -> "Общая теория относительности " -> 59

Общая теория относительности - Хокинга В.

Хокинга В. Общая теория относительности — М.: Мир, 1983. — 455 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayatepriyaotnositelnosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 222 >> Следующая

Т'], Т'>0. Это решение за-
II. Проблема начальных данных
135
висит от начальных данных q этом пространстве непрерывно (т. е. оно
корректно, или «коши-устойчиво») и гладко в смысле теоремы 19.
Таким образом, после выделения асимптотических условий начальные данные
класса Н3хНг продолжают область пространства-времени класса Я3, причем
так, что зависимость от начальных данных непрерывна. Если Т принимает
большие значения, то ло-ренцев характер метрики gaB может быть утерян или
может появиться сингулярность.
Побочным результатом доказательства данной теоремы является регулярность:
если существует решение в Hs+1xHs на [О, Т'\, то более гладким начальным
данным на том же интервале 10, Т ] соответствуют более гладкие решения.
Поэтому начальные данные класса С“ порождают С“-решения.
Интересно было бы установить, является ли пространство, порожденное
начальными данными, которые удовлетворяют условию
(10), настолько большим, чтобы включать асимптотические бусты. Из анализа
доказательств видно, что время существования растет на пространственной
бесконечности по крайней мере логарифмически и не похоже, чтобы из этих
доказательств следовал утвердительный ответ.
Теперь покажем, что любые два пространства-времени класса Hs, s>2,5 с
нулевой кривизной Риччи и с одними теми же данными Коши связаны
координатным //^-преобразованием. Ключевая идея состоит в том, чтобы
показать, что любое пространство-время класса Hs при введении
гармонических координат по-прежнему остается в том же классе. Это в свою
очередь базируется на давнем результате Соболева [169], а именно что
решения волнового уравнения с коэффициентами класса (Hs, Hs~1) сохраняют
данные Коши класса (Hs+1, Hs)\ этот результат вытекает из теоремы 15. Мы
можем дать альтернативное доказательство этого утверждения, используя
известный факт, что любое одно гиперболическое уравнение может быть
сведено к системе симметричных гиперболических уравнений (см. [84]). В
результате имеем следующее утверждение.
Лемма 25
Пусть s>2,5 и (фо(*)> ФоМ) принадлежат классу Соболева (Hs+1, Hs) на R3.
Тогда существует единственная функция ф(/, х) класса Н3+х, которая
удовлетворяет уравнению
х) (гй?) ?+ ?1<'• (В)+'; 1<'?х)0
и начальным данным
(ф (0, х), —=(ф„(*). ф„(*)),
зде g**v(/, х) — лоренцева метрика класса Hs. b^'.t, х) — векторное Мле
класса Hs~x и c(t, х) — функция класса tls~l.
136
А. Фишер, Дж. Марсден
Теперь мы можем доказать, что при преобразовании пространства-времени
класса Н* к гармоническим координатам оно остается в классе Hs.
Теорема 26
Пусть gnV(tt х) — пространство-время класса Hs, s>2,5. Тогда существует
координатное Hs+^преобразование хк(хп), такое, что
Ihv(xx) = (xk) (хх) gap [x* (xx)]
является пространством-временем класса Hs, причем х)=
х)=о.
Доказательство. Чтобы найти Xх (х1*), рассмотрим волновое уравнение
а*—‘г““(^)+8”'Г8е(-^)=0 и допустим, что t(t, х) — единственное решение
этого волнового уравнения с данными Коши 7(0, х)=0, d'i (0, x)/dt= 1 и
что х'(/, х) — единственное решение того же уравнения с данными Коши
х'(0, х) = х', ^-(0, х) = 0.
Для класса Hs Гц относится к классу Я1-1, и потому t(t, х) и х(/, х)
являются Я^+1-функциями; по теореме об обратной функции для Я*-функций
[75], (7(/, х), x(t, х)) есть фактически Я-5^-диффеоморфизм в окрестности
t=0.
Поскольку Щх^/, х)=0 есть инвариантное уравнение, в системе координат с
чертой имеем
° ^»+г“вГЬ>|?-s*T8e-°,
и, следовательно, х* есть система гармонических координат. Щ
Замечание. Эту теорему можно рассматривать как частный случай общей
теории гармонических отображений [771.
В качестве простого следствия леммы 25 имеем следующее утверждение о
единственности для уравнений Эйнштейна.
Теорема 27
Пусть g^v(t, х) и gnV(t, х) — два эйнштейновски-плоскихг) пространства-
времени класса Н* с s>2,5, таких, что (g^v(0, х), dgnv(0, x)/dt)=(gllv(0,
x)dgllv(0, x)/dt); тогда g^(t, x) и g^(t, x)
4 To есть с тензором Эйнштейна, равным нулю.— Прим. перев.
//. Проблема начальных данных
137
в некоторой окрестности 1=0 связаны координатным Hs+i-npeo6pa-зованием.
Доказательство. Согласно лемме 25, существуют координатные //i+i-
преобразования у|1(ха) и *Лл®), такие, что преобразованные метрики
(dxa/d^)(dxp/d0v)gaf5 и (dxa/d~yll)(dx^/dyv)gafi
удовлетворяют уравнению /?$=0. Поскольку данные Коши для guv и guv
совпадают, для преобразованных метрик данные Коши также одинаковы. В силу
единственности
(дха/ду'1) (dx^/dyv) gaB = (дха1д~у») (dx&/dyv) ga&.
Поскольку композиция преобразований координат класса Hs+l принадлежит
тому же классу Н*+1, в некоторой окрестности 1=0 метрика gaB связана с
gaB преобразованием координат класса Ht+X.
Локальные теоремы существования и единственности 23 и Щ могут быть
глобализованы в том же духе, как при исследовании максимальных кривых
обыкновенных дифференциальных уравнений. Это приводит к следующей
теореме, принадлежащей Шоке-Брюа и Героку 150].
Теорема 28
Зафиксируем компактное многообразие М и пусть (g0, я0) ? П Г) (т. е.
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 222 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed