Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
к ^^ (р)>
где flt, — алгебра Ли группы G^. Допустим также, что имеется расщепление
ТрР= ima,® ker ар.
Для этих двух расщеплений существует общее условие совместности, а именно
im cocker Гр?, которое прямо следует из эквивари
//. Проблема начальных данных
149
антности. В самом деле,
im ар = Тр (G-p) П кег TpW.
Это условие совместности приводит к более тонкому расщеплению ТрР = im
(ТрЧ)* ® im ар ф (кег УД П кег а'р), (15)
т. е.
ТрР = im (TpW)* © Г, (GM. д) ф кег ТрЩТ, (G„ • р)\ Заметим, что третье
слагаемое есть касательное пространство к Р^.
Рис. 2. Геометрия общего симплектического разложения.
Геометрическая картина показана на рис. 2. Для пояснения этого рисунка
перечислим слагаемые в разложении (15) в виде
7У>-®0®0®,
где
ф принадлежит im(rp4f)*, ортогональному дополнению касательного
пространства к уровню 'К~1(р,);
© принадлежит im ар, касательному пространству орбиты точки р под
действием Gu;
® лежит в кег Гр'Кпкегая и является частью разложения, касательного к
редуцированному симплектическому многообразию.
© и @ вместе составляют кег TPW, касательное пространство к УМц).
Основное расщепление в 1146] можно рассматривать как частный случай этого
результата. Мы выберем Р=Т*<М, а «группой» будет тогда G=C™OCTp(Al; Vv
(4,g), множество пространственноподобных вложений М в гиперповерхности
Коши в пространство-время с нулевым тензором Эйнштейна (К4, <4)g),
которое является максимальным развитием с некоторой гиперповерхности Коши
Хотя G группой не является, но имеет достаточно сходства с группой, чтобы
был применим наш анализ *). G «действует» на (g, я) следующим образом
(рис. 3). Пусть (К4, (4lg, i0), Ein(14,g)=0 есть максимальное развитие
данных Коши, которым обладают (g0, я„)
‘) Нужно лишь использовать более общую процедуру редукции, описанную в
работах [1, 173].
150
А. Фишер, Дж. Марсден
как данные Коши на некоторой вложенной гиперповерхности 20= »=«о(Л4), /о
: М -*? V4 (i, уподобляется началу координат для Спростр)- Тогда
iZC“p0CTp(M; Vt, wg) отображает (g0, л0) на (g, л), индуцированные на
гиперповерхности h=i(M). Множество всех таких (g, л) определяет орбиту
(g0, л0) в Эти орбиты не
имеют общих точек и потому определяют отношение эквивалентности (~) в
#»П#в-
(VV). • максимальное развитие данных (д0, я0) на Е0
Рис. 3. Схема «действия» пространства вложений на пространстве данных
Коши.
Хотя это не есть действие (поскольку СпР0стР не является группой), но все
же здесь есть хорошо определенные орбиты и применим изложенный выше
симплектический анализ [93]. С помощью сопряженной формы эволюционной
системы Эйнштейна вычисляется импульс этого «действия» на касательный
вектор ШХг ? € Т’/.Спростр^; и)ё) с функциями длительности N и сдвига X:
ЧЪ. я, (“>*) - J ХЖ (g, л) + X • ? (g, л).
Здесь шХх, или (N, X) можно рассматривать как элементы «алгебры Ли»
«ГруППЫ» С “ростр.
Поскольку Чг-1(0) совпадает в точности с множеством связей #жП#а, мы
выберем р=0, и, следовательно, G^—G. Из уравнений движения находим, что
a(g. я): 9 —? Т(g, Л) (Т*аЖ)
определяется через
(N, x)^Jo[m>(g, «)]••(*),
и поэтому симплектическое разложение (15) принимает вид Тц. я> (Т*а?) —
{im [DO (g, л)]‘}*ф ®im{/o[D(g, л)]*}® ф ker DO (g, л) n [ker DO (g,
л)оУ]*,
т. e. представляет собой расщепление Монкри. Элементы первого слагаемого
инфинитезимально деформируют (g, л) в данные Коши,
//. Проблема начальных данных
151
которые не удовлетворяют уравнениям связи. Элементы второго слагаемого
инфинитезимально деформируют (g, л) в данные Коши, которые порождают
некоторое изометрическое пространство-время, а элементы третьего
слагаемого инфинитезимально деформируют (g, л) в направлении новых данных
Коши, порождающих неизометрическое решение уравнения поля в пустом
пространстве (рис. 4, ср. с рис. 2). Это третье слагаемое представляет
собой касательное пространство к редуцированному пространству
Рис. 4. Симплектическое разложение, примененное к уравнениям Эйнштейна
для построения пространства гравитационных степеней свободы.
Существует единственный изоморфизм между этим фактор-пространством (по
отношению эквивалентности, введенному выше) и пространством
гравитационных степеней свободы
V(Vt) = ?<yt)l3> (К4),
т. е. множеством максимальных решений вакуумных уравнений Эйнштейна
^*(К4) = {и)?| Ein (u,g) = 0 и такие, что (К4, {i)g) есть максимальное
развитие данных Коши на некоторой гиперповерхности Коши)
по модулю группа пространственно-временных диффеоморфизмов ?D(K4). Оно
является пространством изометрических классов решений уравнений Эйнштейна
в пустом пространстве или пространством гравитационных степеней свободы,
поскольку координатная калибровочная группа отфакторизована.
Представление $(К4), описанное здесь, мы называем динамическим
представлением, так как оно использует каноническую
152
А. Фишер, Дж. Марсден
формулировку для определения Р^'ёзе П#б/~. Конформное представление 3(У4)
см. в работах [53, 91, 176].
Как мы уже подчеркивали, в случае компактных гиперповерхностей
