Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
отождествляются все (g, л), которые возникают при разбиениях в
максимальном пространстве-времени с нулевым тензором Эйнштейна. В
некомпактном случае, как было показано в работах [54, 161], этого не
происходит.
Относительно разложения Г(8,я) (Г*о^!) следует сделать несколько
дополнительных замечаний.
Положим fl(g.n)=ker DO(g, jt) n Iker DO(g, п)оЛ* (третье слагаемое в
вышеприведенном разложении Монкри). Это слагаемое обобщает классическое
поперечно-бесследовое разложение (ТТ) в работах Дезера и Брилла [62, 22].
В самом деле, для л=0 и R (g) = =0 разложение Монкри сводится к двум
копиям расщепления Бер-же — Эбена 116]. Если еще и Ric(g)=0 (т. е. g —
плоская метрика), то воспроизводится первоначальное расщепление Брилла—
Дезера.
Теперь допустим, что (Л, (о) ? $(g, Я)- 'Тогда (Л, <о) удовлетворяет
следующим уравнениям:
М>(?, я) • (Л, (о) = 0, (16)
[DO(g, л)о/].(Л, <o)*=DO(g, я)• ((о>')^, — h* dn(g)) = 0. (17)
Те же уравнения, записанные через функции связи ЗС и имеют вид
DSV(g, л).(Л, (о) = 0,
Dл).((ю')1\ -А«ф(*)) = 0,
Df(g, л).(Л, to) — 0,
Df(g, я). ((©')>, -А»ф(й) = 0.
Эти уравнения, представляющие собой восемь условий на двенадцать функций
трех переменных, формально оставляют в качестве параметров пространства
$(g,n> четыре функции трех переменных. Формально $(в,я) является
касательным пространством к пространству гравитационных степеней свободы,
параметризованным четырьмя функциями трех переменных.
Более того, в слагаемом имеется определенная «симплектическая симметрия»,
которая отражена в равенствах (16) и (17): если А, о>€3<в,л), то Jo(h,
<о)* также принадлежит $<е>я). Мы будем называть эту симметрию ./-
инвариантностью пространства
Предложение 38
(Слабая) симплектическая форма й на S,xSl естественным образом индуцирует
слабую симплектическую форму й' на любом J-инвариантном подпространстве в
S2xSj. В частности, $ig,я> является (слабо) симплектическим линейным
пространством.
//. Проблема начальных данных
153
Доказательство. Симплектическая форма Q на StxS%, определяемая как
Q((Alt (о,), (А„ <о,))= J <J~l(hlt (oj, (ht, co2)>, м
задает той же формулой и антисимметричную билинейную форму Q' на ^(8,я)
(как и на любом другом /-инвариантном подпространстве многообразия
S2xS3). Мы должны показать, что Q' не вырождена. Предположим, что для
(hi, e>i)€$tf,n)
$ </-1 (Alt <ох), (Л„ со2)> = О м
при всех (hlt ю2) €$(g,n). Поскольку S{g,„) /-инвариантно, то
y°(®i) €!$<в,Я)'
Поэтому положим
и, учитывая, что /* =—/, получаем 0 = — $ </-1 (hv «!>, Jo(hit (0j)‘> =
= \фи Ы (hv (0j)*>= J (h1-hl + w’r(o[)dn(g)
м
Отсюда (hi, (Oi)=0, и, следовательно, форма Q' не вырождена.
Предложение 38 является частным случаем следующего общего результата
симплектической геометрии [173].
Теорема 39
Пусть (V, Q) — (слабо) симплектическое векторное пространство, aWcV—
некоторое подпространство. Пусть Wq = {vC. K|Q(o,co)-» =0 для всех
соёИ7}; предположим также, что W коизотропно, т.е. Тогда W/Wh является
(слабо) симплектическим век-
торным пространством на естественном пути.
Доказательство. Обозначим элемент из W/Wq через до+HPq. Введем Q на этом
фактор-пространстве с помощью соотношения U7^, a>2+U7ji)=Q(wi, w2).
Поскольку Q(wt, U7q)=0, t=l, 2, это определение корректно. С другой
стороны, если Q(a>i+U7jj, »*+U7q)=0 для всех Wi, wt€Wa, то 102+U7q
является нулевым элементом фактор-пространства.
Предложение 38 следует отсюда как частный случай, если поло-
154
А. Фишер, Дж. Марсден
жить К=5ах53=Г(в>„) Т*аМ, взять Q, как определено выше, и tt?=ker D Ф (g,
л). Тогда
И^- = {(Л, ®)|0((Л, <*>), 1F) = 0} =
= {(Л, (о)| У"1 (Л, со) ортогонально к ker ЭФ (g, л)}=»
= {(Л, (o)\J~l (h, (о) ? im [ЭФ (g, л)]‘} =
= im{/o[DO(g, л)]*}сИ7.
Описанная выше симплектическая структура на % может оказаться важной для
проблемы квантования гравитации. Эта симплектическая структура, вероятно,
содержится в неявной форме в работах Бергмана 117], Дирака [72] и Де
Витта [66]. Однако изложенная нами формулировка позволяет развить более
геометрич-ный и более строгий подход. Прежде всего он дает возможность
воспользоваться формализмом Сигала или Костанта—Сурио для полного или
полуклассического квантования. Во-вторых, подход, предлагаемый нами,
позволяет показать, что вблизи метрики U)g в ^(К4), не допускающей
никакой изометрии (и, следовательно, никакого пространственно-временного
векторного поля Киллинга), #=<?(К4)/Й>(К4) является гладким
многообразием, находится в естественном локальном изоморфизме фактор-
пространству /~ и, следовательно, несет каноническую симплектическую
структуру *). Таким образом, в окрестности пространств-времен с нулевым
тензором Эйнштейна, не допускающих векторных полей Киллинга, пространство
!$=^>(К4)/Й)(К4) гравитационных степеней свободы само является
симплектическим многообразием, или, если угодно, гравитационным фазовым
пространством без сингулярностей, каждый элемент которого представляет
собой геометрию некоторого пустого пространства. Заметим, что $
