Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
состоит в следующем.
Пусть (guv(*0. ^и'(х0) — данные Коши класса (HS(Q), HS~1(Q)), s^3, такие,
что G°ll(x‘)=Q. Пусть й0 — собственная подобласть, Q0c:Q. Требуется найти
е>0 и пространство-время g^t, х‘), Ul<e, (jc')?Q0cQ, такие, что
(I) guv(t, х‘) принадлежит классу Hs по совокупности компонент в (t,
*')€(—е, e>xQ0;
(И) (guv(0, xf), dguV.(0, х‘)/дЦ=(^(х'), k„v(x‘));
(HI) gnv(t> x‘) обладает нулевой кривизной Риччи.
Система #uv=0 является квазилинейной системой десяти дифференциальных
уравнений в частных производных, у которых в членах высшего порядка
компоненты перемешиваются. В такой постановке для этой системы нет
готовых теорем из теории дифференциальных уравнений в частных
производных, которые можно было бы применить к сформулированной здесь
задаче Коши. Как, однако, было впервые замечено Ланцошем [126] (а для
линеаризованных уравнений фактически и самим Эйнштейном [79]), тензор
Риччи существенно упрощается в гармонических координатах, т. е. в
координатной системе, в которой обращаются в нуль свернутые символы
Кристоффеля: r**=g“p Г?р=0. В самом деле, алгебраическим вычислением
можно показать, что
yg^
1л- 1 1л- I И
I 2 вца -^Óà 2 gva dxn "Г “цу
дГа
аг“
дха дх&
* Л 1330
130
А. Фишер, Дж. Марсден
и, следовательно, в координатах, для которых 1>=0,
ЯHV = R$l = — у Sati дха^ + Я»,-
Оператор —(11г)^(дг1дхадх^) действует одинаково на каждую компоненту
системы g^v, и, следовательно, не происходит перемешивания компонент в
старших производных. Поэтому нормализованная система Я’Д!=0 значительно
проще, чем полная. Действительно, система /?$=0 имеет только простые
характеристики, и, следовательно, она является строго гиперболической
системой.
Важность использования гармонических координат и системы Я|?у=0
обусловлена тем, что этого достаточно для решения задачи Коши для
уравнения R$=0. Этот замечательный факт, обнаруженный Шоке-Брюа [32],
основан на том наблюдении, что для решений
guv системы #‘uv=0 условие Г д(*0 =g“B(*0 Гар(*0=0 распространяется за
пределы гиперповерхности /=0. Именно это утверждается в следующей лемме.
Лемма 22
Пусть (g^(x'), &,iv(*')) принадлежат классу Соболева (Hs, Я5-1) на ?2,
s>(V2)/2+l, /1=3, и предположим, что (?^(х‘), к^(х‘)) удовлетворяют
условиям
(I) Г>4*0=0,
(II) С»((*')=0.
Если g^(t, х), |/1<е, * ? Q„, Q0 — собственная подобласть, Q0c:Q,
является Hs-решением системы, то
/?<л> = L став а2^у I н _ о
2 ® дх°дхР+ “v ’
(^v (0, *), Jr)) = (g|tv (*0, kAx1)),
то *0=0 при |/|<е, x?Q0.
Доказательство. Допустим, что g^it, х‘) удовлетворяет условиям
(I), (II) и /?uv=0. Тогда непосредственным вычислением убеждаемся, что
ГТ0 *0 =g“B(/, *0Г?&(/> х‘) удовлетворяет условию <ЗГц(0, *0/(3/=0.
H3CtiV,v=0 и Я[Й=0 следует, что Г** удовлетворяет системе линейных
уравнений
Ж* | ЛВи(„ ^ ^v^ = 0
8 дх«дхе + Аа V^v’ 8 ’ дх* ) дхъ и>
Эта линейная система имеет вид системы (3), для которой уже до-
//. Проблема начальных данных
131
казаны теоремы существования и единственности. Таким образом, согласно
теореме 15, из того, что Ги(0, х')=0 и дГи(0, x‘)/dt=0, следует, что
Гц(/, х')=0.
Согласно этой лемме, Я5-решение системы R$i=0 с фиксированными данными
Коши является также решением системы /?|AV=0 (поскольку лг)=0 =4> Rxi—
Rpv) при условии, что эти данные Коши удовлетворяют требованиям (I) Гц=0
и (И) (5^=0. Как уже отмечалось, условие (II) на данные Коши является
необходимым для того, чтобы решение g^it, х) удовлетворяло системе Яцу=0.
Если же не удовлетворено условие (I), то можно найти набор данных Коши,
эволюция которых, согласно уравнению Rl?l=0, дает пространство-время
класса Hs, которое после tfi+^преобразования координат приводит к
пространству-времени с исходными данными Коши (см. ниже теорему 26 и
работу [84]).
Из теоремы 21 следует, что при s>2,5 данные Коши класса (Я5, Я5-1)
приводят к развитию во времени класса Hs и что имеет место коши-
устойчивость. Мы можем прийти к этому результату, сводя строго
гиперболическую систему /?(^=0 к квазилинейной симметричной
гиперболической системе первого порядка. Ниже приводится набросок
доказательства.
Теорема 23
Пусть ?2 — открытая ограниченная область в U3 с собственной подобластью
Я„, ?2осЯ, и пусть (^lv(x), Auv(а)), (х') ? Q, О^р, v^3, l'^f‘^3,
принадлежат классу Соболева (Я5, Я'-1), s>2,5. Допустим, что Гд(х')=0 и
С"(л:)=0. Тогда существуют е>0 и единственная лоренцева метрика g^U, х),
Ul<e, (,v')czQ0, такие, что
(I) g^v(t, х‘) принадлежат классу Hs по совокупности компонент;
(II) ад/, *0=0;
(HI) (?ГцЧ(0, *0, dgUY(0, x')/d0=(g^ (X'), 6цу(х0).
Согласно лемме 22, такая метрика ?мч(/, х‘) удовлетворяет также системе
R^t, х‘)=0. Более того, g„x(t, х') зависит от (g^ lx'), *nv(*')) н
непрерывно по топологии (Я-*, Я5-1)- Если {g^x{x‘), kllv(Xj)) принадлежат
классу (С", С") на Q, то ?цу(/, х‘) принадлежит классу С°° для всех (,
при которых существует это решение.
Ниже будут рассмотрены решения на всем пространстве R:1 с
пространственными асимптотическими условиями.
