Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
уравнениям
D<D(go, л0) (Л, <о) = 0,
то существует дифференцируемая кривая (g(p), л (р)) ? Т*<М точных решений
уравнений связи
Ф(?(Р). Мр)) = 0,
142
А. Фишер, Дж. Марсден
такая, что (g(0), л (0)) = (ga, я0) и
№ ЭД-ft »)?
Имеет место следующий основной результат.
Теорема 32
Пусть Ф—(УС, ф) : Т*<Л -> CJ xAJ определяется как в разд. 2 и,
следовательно, РяП^о—'О_1(0)- Пусть также (g0, я0) ?%« Преследующие
условия являются эквивалентными:
(I) Уравнения связи
Ф(?, л) = О
линеаризационно устойчивы в окрестности (ga, л0).
(II) Отображение DO(g0, л0) : S2xS% Cj хAJ сюръективно.
(III) Отображение [DO (g0, л0)1* : С°х9С S^xS* инъективно.
Замечание. В разд. 2 мы привели несколько достаточных условий, при
которых выполняется (II),— это условия Ся, Се и Ctr.
Доказательство теоремы 32. В разд. 2 была показана эллиптичность lDO(g0,
я,,)]*. Поэтому эквивалентность условий (II) и (III) является
непосредственным следствием альтернативы Фредгольма.
Из условия (II) следует (I). Ядро отображения DO(g0, я0) расщепляется по
альтернативе Фредгольма. Поэтому из теоремы о неявной функции следует,
что вблизи (g0, я0) О-1(0) является гладким многообразием. Теперь мы
должны использовать пространства Соболева и перейти к С”, накладывая
требования регулярности, как это делается в работе [89]. Поскольку любой
вектор, касательным к гладкому многообразию, касателен и к кривой на этом
многообразии, отсюда вытекает (I).
Из условия (I) следует (III). Это утверждение не столь элементарно, и его
доказательство мы кратко приведем. Предположим, что имеет место (I) и что
[DO(g0, я0)1* •(N, Х)=0, но (N, Х)Ф0. Мы придем к противоречию, показав,
что имеется необходимое условие второго порядка на деформацию (А, о>)
первого порядка, которое должно быть удовлетворено для того, чтобы
деформация была касательной к кривой точных решений уравнений связи.
Итак, пусть (А, <о) — решение линеаризованных уравнений связи и (g(p), я
(р)) — кривая точных решений уравнения
ф(б(р). я(р)) = 0, (11)
проходящая через (g0, я0) и касательная к (А, <о). Дифференцируя дважды
уравнение (11) и полагая р=0, получаем
D О (?0. я.) • (g" (0), л" (0)) + D20 (g0, я.) • ((А, (о), А, ю) = 0,
(12)
II. Проблема начальных данных
143
где
*•«>)-г$й.
Свернув (12) с (N, X) и интегрируя по М, для первого слагаемого в (12)
получим
1<(N, X), D<D(g0, no)(g"(0), л" (0)) > =
= 5<РФ(?о. n0)]4tf, X), (/(0), л" (0))> = 0,
поскольку (N, X)€ker[D(g0, л0)1*.
Таким образом, первый член в (12) выпадает и остается необходимое условие
J <(N, X), D*Ф(ёо, л„)• ((А, со), (Л, w))> = 0, (13)
которое должно выполняться для всех (h, со) ? ker DO (g„, л0). Чтобы
показать нетривиальность этого условия (см. (951), можно провести
рассуждение, аналогичное тому, которое имеется в работе [19].
Процедура нахождения условия второго порядка, при котором
линеаризационная устойчивость отсутствует, вполне обычна. Прочие
приложения см. в работах [88, 89]. |
Из линеаризационной устойчивости уравнений связи можно вывести
линеаризационную устойчивость пространства-времени, и наоборот, следующим
образом.
Теорема 33
Пусть (К4, (4,go) — вакуумное пространство-время, которое является
максимальным развитием данных Коши (go, л0) на компактной
гиперповерхности E0=io(A4).
Тогда уравнения Эйнштейна на V4
Ein(‘4>g) = 0
линеаризационно устойчивы в окрестности U)g0, если и только если
уравнения связи
Ф (g, я)=0
линеаризационно устойчивы в окрестности (go, л0).
В частности, если (go, л0) удовлетворяют условиям С*, Се и Ctr, то
уравнения Эйнштейна линеаризационно устойчивы.
Доказательство. Предположим сначала, что уравнения связи линеаризационно
устойчивы. Пусть (4)Л0 есть решение линеаризованного уравнения в «точке»
u)g0 и пусть (ho, <о0) — индуцированная деформация (g, л) на Е0. При этом
(Л0, (о0) удовлетворяют линеаризованным уравнениям связи. По
предположению существует кривая (?(р). л (р)) € Л #в. касательная к (h0,
(о0) в (go, л0).
Согласно теории существования для задачи Коши, имеется кри-
144
А. Фишер, Дж. Марсден
вая (4,g(p) максимальных решений уравнений Ein(u)g(p))=0 на У4~КхЛ4
сданными Коши (g(p), л(р)). По теоремам 19 и 24, при данном выборе
длительности и сдвига (4)g(p) будет гладкой функцией р в смысле теоремы
19 или в обычном смысле принадлежности к классу С“. Как и раньше, для
любого компактного множества Dc. сУ4 и е>0 найдется 6>0, такое, что
U)g(p) находится в е-окрест-ности u,g0 (по любой стандартной топологии)
на D.
Пользуясь результатами по единственности для линеаризованной и полной
систем Эйнштейна, можно преобразовать кривую (4)g(p) диффеоморфизмами
так, что u)/i0 будет касаться ее при р=0. Подробности см. в [92]. |
Монкри [145] доказал, что для (g, л)?#ягЛ#в отображение [Е>Ф (g-, л)]*
инъективно, если и только если пространство-время u>g, порожденное (g,
л), не имеет никаких (нетривиальных) векторных полей Киллинга (4)У (т. е.
из L(t)Yl4)g=0 следует, что(4,У=0); вместе с теоремами 32 и 33 результат
