Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
138].
Пусть Р — некоторое многообразие и Q — симплектическая форма на Р, т. е.
Q есть замкнутая (слабо) невырожденная 2-форма. В случае общей теории
относительности Р есть Т*<Л и Q — каноническая симплектическая форма У-1,
уже введенные в разд. 1.
Пусть G — топологическая группа, действующая канонически на Р, т. е. для
любого g ? G, Фg:p ь» g ?р, действие g на Р сохраняет Q. Допустим, что
для этого действия существует импульс ?. Это означает, что ? есть
отображение из Р в д* (д* дуально к алгебре Ли %=TeG группы С), такое,
что
Й(Ы/>). vp) = <d4(p)-vp, g>
*) Следует отметить, что в случае компактных поверхностей Коши
пространство гравитационных степеней свободы отфакторизовывает все
динамические степени свободы. Для некоторых целей это может оказаться
нежелательным и может понадобиться менее жесткое отождествление (см. [91,
177, 178]),
11. Проблема начальных данных
147
для всех |?д, где 1Р—соответствующий инфинитезимальный генератор (форма
Киллинга) на Р и vp ? ТрР. При ином способе введения ? от отображения р к
<?(р), |> требуется, чтобы для всякого ? оно было энергетической функцией
гамильтонова векторного поля Такое понятие импульса представляет собой
существенную геометризацию различных теорем сохранения классической
механики и теории поля, включая теорему Нётер.
Легко доказать следующее утверждение: если Н — гамильтонова функция на Р
с соответствующим гамильтоновым векторным полем Хн, т. е. dH(p)
'V=Qp(XH(p), v), или, что то же самое, и если Я инвариантна относительно
G, то ? есть интеграл движения для Хн, т. е. если Ft есть поток Хн, то
?oFf=?.
В качестве примера рассмотрим группу G, действующую на конфигурационном
пространстве Q. Лифт действия этой группы в фазовое пространство T*Q
является каноническим преобразованием. Импульс в этом случае определяется
равенством
где aq принадлежит T*Q. Если G есть множество трансляций или вращений, то
? является импульсом или моментом импульса соответственно. Как и
следовало ожидать, ? есть вектор, и трансформационным свойством,
требующимся от этого вектора, является эквивариантность импульса или
момента относительно косопряжен-ного действия G на g, т. е. диаграмма
должна быть коммутативной. Мы будем рассматривать лишь экви-вариантные
импульсы и моменты.
Имеется несколько классических теорем относительно редукции фазовых
пространств. В небесной механике есть теорема Якоби об исключении узлов
орбит, утверждающая, что во вращательно-инвариантной системе из общего
числа переменных можно исключить четыре переменные и при этом в новых
координатах система останется гамильтоновой. Другая классическая теорема
гамильтоновой механики утверждает, что существование k первых интегралов
в инволюции позволяет сократить 2k переменных в фазовом пространстве. Обе
эти теоремы следуют из теоремы Марсдена и Вайнштейна 1142] о редукции
фазового пространства.
Для построения этого редуцированного пространства положим
?> = <?0(?). «,>.
Р
Р
и
Gn = {g€G| Ad;-.p = p,}.
148
А. Фишер, Дж. Марсден
Рассмотрим 'Е“1(р) = {р|Чг(р)=р,}. Условие эквивариантности означает, что
G сохраняет 4f-l(p), и потому мы можем рассматривать Р11=Ч,-1(Р’)/6ц. В
случае когда представляет собой многооб-
разие (т. е. р. является регулярной точкой) и действие G на это
многообразие является свободным и собственным, имеет место следующая
теорема.
Теорема 37
Рц наследует от Р естественную симплектическую структуру, и гамильтонова
система на Р, инвариантная относительно канонического действия G,
естественным образом проецируется на некоторую гамильтонову систему на
Р^.
В теореме Якоби об исключении узлов группы G есть SO(3), так что g есть
R* и косопряженное действие совпадает с обычным. Отсюда подгруппа
изотропии G^ точки р в R3 есть S1. Если размерность Р равна п, то Ч,-1(ц)
есть множество решений для трех уравнений, и, следовательно, размерность
?-1(p)/G(1 равна п—3—1 =
—4. Для k первых интегралов в инволюции группы G есть Л-мер-ная абелева
группа, поэтому косопряженное действие тривиально и 0ц=0. Отсюда,
размерность ^‘(pJ/G равна п—2k. Другой известной теоремой, вытекающей из
теоремы 37, является теорема Костанта—Кириллова, утверждающая, что орбита
точки р ? д* при сопряженном действии есть симплектическое многообразие.
Теперь мы покажем, как получить общую теорему расщепления для
симплектических многообразий, одна часть которых касательна к
редуцированному пространству Р^ [41. Она включает как частный случай
теоремы расщепления для симметричных тензоров.
Теорема расщепления для симплектического многообразия Р требует
положительно-определенной, но, возможно, только слабоневырожденной
метрики или иной подобной структуры, задающей дуализацию. Если эти
требования выполнены, то могут быть введены ортогональные дополнения.
Допустим, нам известно, скажем из теоремы Фредгольма, что
7/,Я = 1т(7ДГ®!;егГД
(здесь (TPW)* — обычное /^-сопряжение). Ясно, что при конечном числе
измерений это выполняется автоматически. Введем
