Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
линеаризациями. Следующие результаты взяты нами из нескольких
неопубликованных заметок Дорро и Марсдена.
124
А. Фишер, Дж. Марсден
Сначала введем подходящее понятие дифференцируемости для генератора G
уравнения (4). Пусть X и Y — банаховы пространства, причем включение YcX
непрерывно и плотно. Пусть UcY — открытое множество и /: U -*? X —
некоторое заданное отображение. Будем говорить, что / а-дифференцируемо,
если для каждого x?U найдется ограниченный линейный оператор Df(x): Y X,
такой, что
\\f(x+h)-f(x)—Df(x)-h\\x Л
IIЛII*
когда ||/i||K->-0. Если f является а-дифференцируемым и х н-*? '* Df(x)
<zB(Y, X) непрерывно по норме, мы назовем отображение / С~1 — а-
дифференцируемым. Отметим, что это свойство сильнее, чем
дифференцируемость в смысле Фреше. Если отображение f а-дифференцируемо и
отношение
if(x + h)-f(x)-Df(x)-hyihlx
равномерно ограниченно для х и x+h в некоторой Т-окрестности каждой
точки, мы говорим, что / локально-равномерно а-дифференцируемо.
В наиболее часто встречающихся случаях а-дифференцируемость может быть
установлена с помощью следующего предложения.
Предложение 18
Допустим, что / : UczY X — отображение класса С2, и локально по топологии
Y функция
... . ЦР7(*)(Л,Л)11х * 1!А|И1Л|х
ограниченна. Тогда f локально-равномерно Сх — а-дифференцируемо.
Это утверждение легко доказать, исходя из тождества
I 1
f(x + h)-f (x)-Df(x)h=l I D2f (x-\-sth)ds dt.
о 0
Теперь мы обратимся к соответствующему понятию для эволюционных
операторов.
Отображение g i U с Y -*? X называется 0-дифференцируемым, если оно а-
дифференцируемо и Dg(x) для каждого x?U расширяется до ограниченного
оператора из X в X.
Р-дифференцируемые отображения подчиняются правилу цепи. Например, если
g, i Y -+• Y, g* i Y -+? Y и каждое из них Р-диффе-ренцируемо (как
отображение из Y в X) и непрерывно из У в У, то g»ogt p-дифференцируемо,
причем, конечно,
D (ga о g,) (х) = Dgt [g, (х)] о Dg, (х).
//. Проблема начальных данных
125
Доказательство этого факта стандартно. В частности, можно применить
правило цепи к F1<aoFStr=FUr, если каждое из F/<s Р-диф-ференцируемо.
Дифференцирование этого равенства по s при s=r дает «уравнение назад» для
х?У:
Ft. s(x)= — DFu s(x)G (x).
Затем дифференцирование по г при r=s дает
D/7*. s(x) G (х) = G [Ftt s (*)],
т. е. инвариантность потока генератора.
Получение строгих доказательств этих утверждений мы предоставляем
читателю, который должен руководствоваться ходом рас-суждений в линейном
случае.
Для следующей теоремы мы сделаем такие предположения: У сХ есть
непрерывное и плотное включение, Ftt, — непрерывная эволюционная система
на открытом подмножестве D с Y, Х-инфини-тезимальный генератор G(t)
системы Ft%, имеет областью определения D1). Кроме того, предположим:
(Hi) G(t) : DcY X локально-равномерно Сх-а-дифференцируем. Его
производная обозначается Dx, G (t, х) и предполагается, что она сильно
непрерывна по t.
(Ht) Для x?D; s^O пусть TXt, будет время жизни х вне s, т. е. задано sup
{f^s\Ft, s(x)}• Предположим, что в X имеется сильно непрерывная линейная
эволюционная система {Ux's (т, о): G<o<x^TXii} в X, у которой Х-
инфинитезимальный генератор является расширением {DXG(/, Ft<tx)?B(Y, X);
т. е., если у€ У,
U*'5 (т,о) -у\х= о = DXG (т, Fu s (х)) у.
Теорема 19 (Дж. Дорро)
При сформулированных выше предположениях Ft>, а -дифференцируема в точке
х и
D FUs(x) = Ux>s(t,s).
Доказательство. Введем <р( (х, г/)=ф (/, х, у) с помощью равенства G(t,
x) — G (/, y) = DxG(t, y)-(x — y)+lx — ylx(f>t (x, у)
(или равно нулю, если х=у) и заметим, что в силу локальной равномерности
||<р(/, х, у\\х равномерно ограничены, если х и у близки по топологии У.
По совместной непрерывности Fit ,(х), для 0<«
*) Как и в линейном случае, G (/) может иметь расширение на ббльшую
область, но здесь нас интересует только G(t) на D.
126
А. Фишер, Дж. Марсден
<ТХ, норма ||ф(/, Ft,,(у), Ft, ,(х)||.х ограничена при 0<s<T при
достаточно малых }\х—y\\Y.
По построению имеем уравнение
Ft.s(x) = G[FUs(x)], 0x?D.
Пусть
И*, s) = Ft,s(y)-Ft,s(x),
так что
= G (/, Fu s (у)) - G (t, Fu s (x)) =
= DXG (t, Ft, s (x)) w {t, s) +1| w (t, s) I* ф (t, Ft, s (y) Ft, s (*)).
Поскольку DXG(/, Ft,, (x))-w(t, s) непрерывно no t, s со значениями в X,
то, обозначая U=UX,X, получим «дифференциальное уравнение назад»:
^ U (t, a) w (о, s) = U (t, a) (t, a)DxG(о, Fa, s(x))?w(o, s)=
= U(t, o)l w (a, s) I* ф (a, F„, s (y), F0,, (x)).
Отсюда, интегрируя от o=s до < =t, получи i
t
w(t,s) = U (t,s)(y—x)+ J U (t, o)||w(o, s)|jfф(o, F0'S(y), Fa,s(x))d<J.
s
Пусть \\U{x, о)||*, и ||ф [a, F0, , (у), Fa. , (х)||х<Л12, 0<s<o< <t<7\
Тогда из неравенства Гронволла имеем
|w(t, s)L<iW1eA,-A,»Tl^-x||jf = Afe||t/-x||jf.
Иначе говоря,
II Ft. S (У)—Ft, , (x)-U (t, s) (y-x) \\x
\\y—*11*
t
< M,Af J j*II ф (a, F0., (y), Fa,, (*)) Jjf do.
S
Из теоремы об ограниченной сходимости мы заключаем, что оператор Ft,, Р-
дифференцируем в точке х ичтоОFt, ,(х)—U (t, s). (Функция ф(/, Ft,, (у),
