Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
-у + вцу (у Я«эЯв|1 —J Rt + T *;S)] (92)
(/77=0, /7=4, g=l/«, пространство-время конформно-плоское). При нечетном
п мы, естественно, получаем
(Тгеп uv> = <Tren tlv>^ (93)
(m=0, п нечетно, |=1/4(/7—2)/(п—1), пространство-время конформно-
плоское).
336
B.C. Це Витт
Заметим, что <Т?„ ^ не обязательно должно быть равно нулю. Как мы уже
видели ранее, это среднее, вообще говоря, зависит от топологии, а если
опорное плоское многообразие неполное, то также и от краевых условий. В
рассматриваемом случае топология и краевая структура плоского
многообразия определяются его конформной связью с искривленным
многообразием. Предполагается, что представление (35) для фейнмановского
пропагатора при конформных преобразованиях остается неизменным, поэтому
проинтегрированные выражения (91) — (93) наследуют определение вакуума от
плоского многообразия. Отметим, что эти выражения чисто действительные,
откуда следует, что W не имеет мнимной части. Это означает, что рождение
частиц отсутствует, а потому |in, vac> и |out, vac> идентичны.
Поскольку каждое двумерное многообразие локально конформноплоское,
выражение (91) имеет универсальный характер. Отображая конформно
многообразия с искривленными краями на многообразия с плоскими краями,
можно выразить тензор натяжений для сложных случаев (например, для
двумерного клина Риндлера) через тензор натяжений для простых случаев
(например, для полупространства). Эти результаты, как оказалось,
согласуются с результатами, полученными иными методами, даже в тех
случаях, когда тензор Римана равен нулю. Это означает, что конформная
аномалия не является следствием кривизны, а представляет собой глубокое
внутреннее свойство теории.
Многообразия Робертсона — Уокера составляют важный класс, к которому
можно применить равенство (92). Простейшим в этом классе является
пространство-время де Ситтера, тензор Римана которого имеет вид
ёитёиа)- Подстановка его
в (92) и наложение граничного условия <f&!,>* —"О немедленно дают
<T*S>--------W*4*1" <94>
(/п=0, I—1/», пространство-время де Ситтера), т. е. результат, который
был получен с затратой большого труда рядом других методов. Связанное с
этим результатом «вакуумное» состояние де ситтер-инвариантно.
5. ПОЛНАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Методы предыдущих разделов применимы к полям со спином в той же мере, в
какой они применимы к скалярному полю. Требуется лишь ввести несколько
новых технических средств, таких, как битензоры или биспиноры для
описания переноса поляризации полей вдоль геодезических, а если имеются
калибровочные группы, то ввести также члены, фиксирующие калибровку и
«духовы» по-
VI. Квантовая гравитация: новый синтез
337
ля ‘). Но в основном однопетлевая теория для <Т?п> одинакова как для
скалярного поля, так и для электромагнитного поля, поля спина V*. поля
Прока и гравитационного поля *).
Как мы отмечали выше, однопетлевая теория является ВКБ-приближением к
полной теории, к которой мы теперь обращаемся. Начиная с этого момента мы
сможем делать мало строгих утверждений. Большую часть времени мы будем
иметь дело с формальными уравнениями, из которых никто пока не может
извлечь надежные конечные ответы. Однако исходным пунктом этих уравнений
является функциональный интеграл Фейнмана, в отношении которого широко
распространена уверенность, что его справедливость выходит за пределы
теории возмущений. Поэтому ожидается, что сами эти уравнения сохранятся
при дальнейшем развитии теории.
Для простоты мы рассмотрим чистую квантовую гравитацию, но введем
компактную систему обозначений, которая в равной степени применима ко
всем полевым теориям. Начнем с замены символа g^v (х) для квантового
метрического тензора символом <р' Подразумевается, что индекс i заменяет
смешанный набор нумерующих величин р, V, х, где х нумерует
пространственно-временную точку. Причина включения в этот набор
непрерывного «номера» х состоит в том, что большая часть формализма
квантовой теории поля носит чисто комбинаторный характер, причем
суммирование по немым тензорным индексам часто сопровождается
интегрированием по пространству-времени. Для того чтобы избежать
написания множества знаков интегрирования, мы объединяем индексы х и
тензорные индексы в один индекс и уславливаемся, что по повторяющимся
нижним строчным латинским индексам производится комбинированное
суммирование-интегрирование. Расширяя множество значений, которое
пробегает индекс t, можно включить в символ <р' также компоненты других
полей. Если некоторые из этих полей фермионные, то необходимы
дополнительные обозначения, чтобы контролировать знаки и расстановку
множителей, но пока мы не будем рассматривать подобное усложнение.
5.1. КАЛИБРОВОЧНАЯ ГРУППА
Единственный другой тип индекса, который будет введен,— это нижний
греческий индекс из начала алфавита, называемый групповым индексом.
Рассмотрим диффеоморфизм, который порождается смещением пространственно-
временных точек на вариантный вектор — 8|. На координатном языке
