Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
соответствующее преобразование можно записать в виде дс^х^-Ьб!11, а
изменение guvM в резуль-
*) Как они появляются в теории, можно увидеть из полной теории, описанной
в последующих разделах.
*) В теориях супергравитации имеется также безмассовое поле спина 3/г.
338
Б. С. Де Витт
тате такого преобразования имеет вид
6g(iV (X) = — ?egg|iV (*) = S [— g«v. a (X) б (*, X') — guv (X) б в (X,
x') —
— gu<Av(x, x')]8ga (x')dnx'. (95)
Преобразование (95) называется калибровочным преобразованием, а
соответствующая группа диффеоморфизмов называется калибровочной группой
квантовой гравитации.
Нетрудно показать, что величина в квадратных скобках под интегралом в
(95) является битензорной плотностью, преобразующейся как ковариантный
тензор в точке х и как ковариантная векторная плотность веса 1 в точке
х'. В компактных обозначениях мы заменим эту величину символом QU<pl и
перепишем (95) в виде
вф'=<г‘а[ф]в|а- т
Здесь индексы p., v, х заменены индексом t, а индексы а, х' заменены
групповым индексом а.
Уравнение (96) выражает действие упомянутого выше диффеоморфизма в
пространстве метрических тензоров <р'. Это действие является реализацией
диффеоморфизма. Величины Q удовлетворяют важному тождеству, возникающему
в силу того факта, что диффеоморфизмы образуют группу
QV /Q's-Q'b. (97)
Здесь (и далее везде) запятыми обозначается функциональное
дифференцирование по ф. Постоянные с являются структурными константами
калибровочной группы и удовлетворяют циклическому тождеству 1)
CapECeve + CaveCef9 + c“fec8|3V = (98)
Очевидно, что множество значений, которые пробегают групповые индексы,
можно расширить так, чтобы включить в рассмотрение другие калибровочные
группы, ассоциированные с другими полями (например, с полями Янга —
Миллса). Компактные обозначения, в частности в равенствах (97) и (98),
остаются прежними. Допуская в отношении структурных констант
антикоммутативность и обобщенные симметрии, можно включить сюда даже
суперкалибровочные группы.
*) В подробных обозначениях структурные константы группы диффеоморфизмов
записывают как c*Va* н определяются соотношением
J dnx' I dnxc\0-Xv'Ya" = - [X, У]»*,
где X и Y — произвольные постоянные векторные поля, а [ , ] — скобки Лн;
c^v-o"— компоненты трехточечной тензорной плотности, преобразующиеся как
контравариантный вектор в точке х и как ковариантная векторная плотность
веса 1 в каждой из точек х' и х*. Циклическое тождество, которому они
удовлетворяют, есть тождество Якоби для скобок Ли.
VI. Квантовая гравитация: новый синтез
339
Замечательным и часто используемым фактом является то, что поля, которые
встречаются на практике, осуществляют линейную реализацию соответствующих
калибровочных групп. Это означает, что функциональные производные Qj,.,
не зависят от <р' и, если их рассматривать как непрерывные матрицы (по i
и /), дают матричное представление алгебры Ли, ассоциированной с группой.
Конечно, эта простота, вообще говоря, теряется, если <р заменяются их
нелинейными функциями. Но замечательно то, что, как правило, имеется
«естественный» набор полевых переменных, для которых величины Q являются
линейными функционалами *).
5.2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕЙНМАНА; МЕРА
Рассмотрим теперь амплитуду перехода вида <out|in>, где векторы |in> и
|out> относятся к состояниям, в которых поле максимально задано (в
квантовомеханическом смысле, например через полный набор коммутирующих
наблюдаемых) в областях «in» и «out» соответственно. Эти состояния не
обязательно «вакуумные», а области «in» и «out» не обязательно находятся
соответственно в бесконечно удаленном прошлом или будущем. Если
пространство-время имеет геометрические сингулярности в прошлом и (или)
будущем, то |in> и |out> могут быть определены не через наблюдаемые, а
путем некоторой специальной процедуры аналитического продолжения.
Предполагается лишь, что области «in» и «out» лежат соответственно в
прошлом или будущем области, представляющей интерес с точки зрения
динамики.
Есть много способов показать, что амплитуда <out|in> может быть выражена
в виде формального функционального интеграла:
<out |in> = N J (99)
Здесь N — нормировочная постоянная, 5[ф] — классический функционал
действия, (д[ср1 — некоторый функционал меры, а интегрирование
распространяется как на все поля ф, которые удовлетворяют граничным
условиям, подходящим для данных состояний «in» и «out», так и на все
топологии, к которым можно прийти аналитическим продолжением данной
фоновой топологии.
Выражение (99) впервые было выведено Фейнманом [37] в обычной квантовой
механике, без калибровочных групп, а позднее было применено им к теории
поля [38]. Распространение на калибровочные теории — плод труда большого
числа исследователей; подробности
можно найти в литературе ®). В сочетании с соотношением
<out 17^ (Л [ф]) | in> = N ^ >1 Гф] e‘s[ф1М- [ф] (10°)
х) В теории гравитации имеется семейство «естественных» полей, а именно
всех тензорных плотностей вида grgM,v или g-rgnv, где гф\!п.
