Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
*) Из современных работ полезны [1, 33, 34].
340
Б. С. Де Витт
выражение (99) немедленно приводит к таким вариационным законам, как (1),
(2), (29) и (42).
Правильный выбор функционала меры plcpl был предметом разногласий в
течение многих лет. Нет ни одного хорошего обзора по возникающим при этом
проблемам, и размеры данной статьи не позволяют дать такой обзор здесь.
Достаточно сказать, что выбор, которому следует тот или иной автор,
зависит от следующих факторов: 1) какому определению функционального
интеграла отдается предпочтение (например, через разбиение времени или
через функции Грина и правила Фейнмана), 2) какой используется формализм
— лагранжев или гамильтонов, 3) какая интерпретация принимается для
некоторых неопределенных выражений. Многие из этих неопределенностей
связаны с проблемой упорядочения сомножителей и с вопросом, какой смысл
придать локальным операторам, построенным из исходных полей <p‘. В случае
перенормируемых теорий такие неопределенности при адекватной
регуляризации исчезают и не появляется никаких разногласий относительно
того, как производить вычисления. В случае неперенормируемых теорий,
напротив, из-за того, что не существует надежных конечных ответов,
противоборствующие интерпретации в настоящее время напоминают
средневековые споры о том, сколько чертей уместится на острие иглы.
Мы займем здесь бескомпромиссно формальную позицию, поскольку
представляется весьма вероятным, что она останется справедливой в
процессе дальнейшего развития, и будем полагаться на известную тенденцию,
согласно которой чистый формализм приобретает и сохраняет свою
последовательность и логику. Мы начнем с того, что амплитуда (99) должна
быть калибровочно-инвариантной. Поскольку функционал действия в
экспоненте подынтегрального выражения уже калибровочно-инвариантен, мы
обеспечим калибровочную инвариантность интеграла, если потребуем, чтобы
«элемент объема» pdcp был калибровочно-инвариантен. Наиболее простой путь
— введение такого метрического тензора уц в пространстве полей ф', для
которого действие калибровочной группы будет изометрией. В явном виде это
требование означает
0 = ?дау,7 = У/А kQk*+VkjQl'a, i + yikQkoc, /. (101)
Затем выберем
р. = const х [det (v,-;)]'7*, (102)
предполагая, что детерминант может быть подходящим образом
определен. Нетрудно убедиться, что равенство (97) является условием
интегрируемости для (101) и что из самого условия (101) формально следует
(pQ'a)., = 0. (103)
Это уравнение «потока без расходимости», которое в принципе можно
VI. Квантовая гравитация: новый синтез
341
использовать для отбора подходящего функционала меры независимо от
метрики.
В чистой квантовой гравитации с g^ в качестве основных переменных условие
(101) переходит в утверждение о том, что ytJ должна быть двухточечной
функцией, преобразующейся при действии группы диффеоморфизмов подобно
симметричной контравариантной тензорной плотности веса 1 в каждой из
точек. Среди всевозможных таких битензоров имеется единственное (с
точностью до постоянного множителя) однопараметрическое семейство
битензоров, которые могут быть охарактеризованы как локальные. Они имеют
вид
y|iV04'=©HVOT6(x> *')f (I04)
©Ц'-ОТ = j g'/t (g^OgXX + gnxgvx + Xg^go T)t (105)
Из-за дельта-функции, появляющейся в (104), y^vo'T' имеет блочную
структуру, что позволяет представить формально его детерминант в виде
det (yuvo't') = JJ © (х), (106)
где ©(х)—детерминант 1/2л(/г+1)х1/2л(л+1)-матрицы ©и*0*. Нетрудно
вычислить, что
© = ( — l)"-l(l + (107)
где g=—det (g^). В четырехмерном пространстве © и, следовательно,
det(yl*vo'T'), как легко видеть, являются постоянными, независимыми от
Поэтому меру р. можно взять постоянной; без потери общности ее можно
приравнять единице. Но это не будет справедливо при иных размерностях или
при наличии других полей, если мы будем по-прежнему рассматривать как
основные переменные. Однако в принципе мы можем заменить g^ переменными
g~rgixv или g'g^v (гфМп) и выбрать г так, чтобы р оставалась постоянной.
На практике, как мы увидим ниже, это излишне. Оказывается, что для
эффективного приравнивания р единице достаточно выбрать такие основные
поля, которые под действием калибровочной группы преобразуются линейно.
Уравнение (99) тогда приобретает простой вид:
<out|in> = ^V 5^5[<р1??ф. (108)
5.3. ГЛОБАЛЬНО ВЫПОЛНЯЮЩИЕСЯ КАЛИБРОВОЧНЫЕ УСЛОВИЯ; КАНОНИЧЕСКИЕ
КООРДИНАТЫ
Когда есть калибровочная группа, интегрирование в формуле
(108) излишне. Поскольку <р пробегает групповую орбиту в пространстве
полей, экспонента в подынтегральном выражении оста-
342
B.C. Де Витт
ется постоянной *). Эту избыточность полезно устранить путем наложения
калибровочного условия. Для того чтобы найти калибровочное условие,
которое было бы справедливо и в контексте, отличном от теории возмущений,
необходимо проявлять осторожность.
Обозначим пространство всех полей <p‘, по которым берется интеграл (108),
через Ф, а калибровочную группу — через G. В чистой теории гравитации Ф
