Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
Г/(х, s) = g'l• (х) [л — 2is (тг + j [е~im‘*A(х, х, в)]. (84)
Если выражение (84) подставить в (79), (81) или (82), то мы получим, что
при /п=0 и i=V4(/i—2)/(п—1) след перенормированного тензора натяжений в
отличие от классического тензора натяжений при четных п не обращается в
нуль. Это явление известно как аномалия следа.
Аномалия следа в данной точке зависит от локальной геометрии в ней. В
каждом случае ее можно вычислить с помощью выражения (84), а еще проще
следующим образом. Заметим, что второе из уравнений (69) дает
^v(x)^W = zC(x* z)* (85)
что метрику Шварцщильда можно построить из линеаризованной теории
гравитации на плоском фоне путем суммирования ряда классической теории
возмущений при условии, что допускается введение новых координат и
определенное аналитическое продолжение после того, как суммирование
выполнено (см. [29]). Идеи Хокинга тем не менее ценны тем, что они
фокусируют внимание на том способе аналитического продолжения, который
оказался полезным в теории черных дыр. Этот способ, возможно, поможет
избавиться от неопределенностей, которые появлялись в упомянутых ранних
исследованиях, а акцент на черные дыры может указать путь к калибровочно-
инвариантным методам суммирования и более точным методам вычисления
эффективного лагранжиана.
334
Б. С. Re Витт
откуда после дифференцирования по г получаем
^ *>+*!«<*• *>• <<*>
Заметим далее, что когда W и WTen определены через дзета-функцию, они
отличаются друг от друга на величину, пропорциональную /4л/2» которая,
как мы видели, конформно-инвариантна. Поэтому из (72) и (86) следует
<Тгеп Ц (*)> = 2SW (*) 6g(ivre(^ = 2^ (*) bi^(x)=
м <'(°>._______________________________________(" нечетное),
tiV 6ffiivW ’ \(4n_,1/2g’/>(x)an/2(^, x) (n четное).
(87)
В однопетлевом приближении скобки < > в левой части выражения (87) можно
убрать. Это следует (как можно увидеть, построив произвольное
пространство Фока) из того факта, что матричные элементы следа между
любыми двумя ортогональными состояниями обращаются в нуль. Поэтому след
перенормированного оператора тензора натяжений будет с-числом (единичным
оператором, умноженным на число).
В следующем разделе мы увидим, что в ряде важных случаев аномалии следа
весьма просто полностью определяют тензор натяжений. К сожалению, в
остальных случаях определение <Tfg,> требует сложных вычислений, и оно
может быть успешным лишь при условии, что имеется достаточно сведений
относительно собственных функций оператора F, входящего в полевое
уравнение. Более того, с этими собственными функциями еще требуется
провести довольно сложные вычисления. Наивные суммы по модам, которые
часто пишут для <T|1V >, следует рассматривать с крайней осторожностью,
так как они расходятся и должны быть видоизменены вычитаниями,
относительно которых не всегда ясно, обеспечивают ли они выполнение
условия (22). Эта трудность особенно велика при т—0. В этом случае
полезно иметь альтернативные суммы, которые уже правильно
перенормированы. Примером такой суммы является следующее выражение,
полученное подстановкой (83) в (81), представлением А(дс, х, s) в виде
суммы по v(a, х) и последующим интегрированием по частям:
0D
<Тп»п (*)> = j X l7’**' ^ (“• •*)) + т^8Ч‘ WМ [v (“• х
0 а '
хе-‘Ш)sds + _?_gv,(x)gllv(x)at(x> х) (88)
(т*=0, я=4, ?=?*/<, пространство-время конформно-плоское или риччи-
плоское). Это выражение, в котором явно выступает анома-
VI. Квантовая гравитация: новый синтез
335
лия следа, было проверено прямым вычислением в простых случаях, и есть
основания считать, что оно будет полезно во многих более сложных
ситуациях. При этом необходима осторожность: порядок суммирования и
интегрирования нельзя менять.
4.6. КОНФОРМНО-ПЛОСКОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ
Браун и Кассиди [9] указали, что при /71=0 и ?=74(я—2)/(п—1) изменение
<TR.n>, возникающее при конформной вариации метрики, полностью
определяется аномалией следа. Это следует из легко проверяемого тождества
[*?**(*) бgvv М ’ bga» (*') ] = °’ (89)
которое при применении к №геп дает
б <Tre„ / (*)> = gnV(x) J <Tren «“ (*')> 61 (x') d*x\ (90)
где б обозначает результат вариации метрики на величину bg^=
=gn\>6X,.
Функциональная производная в правой части (90) берется непосредственным
вычислением. Если метрика уже конформно-плоская, можно проинтегрировать
полученное вариационное уравнение полностью так же, как в плоском
пространстве. В случае /1=2, записав ?цу=в*"Пму» где г)^ — метрика
Минковского, получаем
<Тге„ /> = <Trcn />ь+ - б IKS +| V W) (91)
/п=0, п=2, |=0, gMV=^' T)nv). гДе <Тгеп — перенормированный
тензор натяжений в плоском пространстве-времени, а индексы в правой части
поднимаются и опускаются с помощью метрики Минковского.
В случае /7=4, вспоминая, что тензор Римана и тождества Бианки для
конформно-плоского пространства-времени можно целиком выразить через
тензор Риччи, прямым вычислением устанавливаем, что интегрирование (90)
приводит к соотношению
<тгеп Bv> = <тге„ в*>ь+ [ - Яц • Яva + -
