Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
линии и все они — орбиты общего вида. Если R3 несет декартову метрику, то
пространство орбит топологически (ио не метрически) плоское. Отметим, что
в этом примере нет поверхностей, которые пересекали бы все орбиты
ортогонально, хотя любая плоскость, не содержащая оси, перпендикулярна
некоторой орбите в точке пересечения и является поверхноа ью, подобной V,
основанной на этой орбите.
346
Б. С. Де Витт
калибровка в теории Янга — Миллса). Но в непертурбативных подходах
линейными калибровочными условиями нужно пользоваться с большой
осторожностью (см. [431). Это можно видеть уже из условия типа (115),
которое задает подпространство, приближенно ортогональное только тем
орбитам, которые лежат достаточно близко к фоновой орбите, проходящей
через 0^=0- При глобальном применении линейных калибровочных условий
могут встретиться по крайней мере следующие пять трудностей. 1.
Подпространство, определенное линейным условием, не имеет границы;
следовательно, оно не может правильно представлять Ф/G, если есть
вырожденные орбиты. 2. Подпространство, определенное линейным условием,
может пересекать некоторые орбиты более одного раза.
3. Могут быть орбиты, которые оно вовсе не пересекает. 4. Даже если
оно пересекает все орбиты при определенных значениях в равенстве (109),
оно может не пересекать все орбиты при других значениях ?“. 5. Когда G
«скручено», вообще нет глобально выполняющихся калибровочных условий, ни
линейных, ни каких-либо иных.
В некоторых случаях оказывается возможным сохранить преимущества линейных
калибровочных условий. Это достигается в некоторых глобальных подходах к
теории Янга — Миллса. Однако группа диффеоморфизмов теории гравитации
намного более сложна, чем группа Янга — Миллса, и в настоящее время почти
не изучены ни трудности, к которым она приводит глобально, ни
предоставляемые ею возможности технических усовершенствований. Для того
чтобы сохранить открытыми все пути, мы будем развивать сначала формальную
теорию амплитуды <outlin>, используя надежные калибровочные условия,
основанные на канонических координатах, а затем сделаем ряд замечаний
относительно того, как могли бы обстоять дела, если бы использовались
иные калибровочные условия.
5.4. ОТФАКТОРИЗАЦИЯ КАЛИБРОВОЧНОЙ ГРУППЫ
Способ устранения избыточности из интеграла (108) с использованием
калибровочного условия впервые был указан Фаддеевым и Поповым [35.1 Здесь
мы будем придерживаться их метода с некоторыми усовершенствованиями.
Пусть ? — произвольный элемент калибровочной группы (рассматриваемой как
абстрактная группа) и пусть \а — канонические координаты |. Пусть ср' —
произвольное поле в Ф. Обозначим через 5ф' поле, в которое переводится
под действием |. Введем
def r def
А[?. v] = Hp[f<p]-adetQ“1[E]«. * = (116)
а а
где 6[. . .1 — дельта-функционал, Я“[ф1— функционалы, построенные по
канонической процедуре, описанной в предыдущем раз-
VI. Квантовая гравитация: новый синтез
347
деле, Q-1 — матрица, определенная рядом (112), а интегрирование
распространяется на всю калибровочную группу. Из-за присутствия дельта-
функционала подынтегральное выражение «срабатывает» только в одной точке
группы G, а именно в той точке, для которой равно единственному полю ф?,
которое лежит на орбите, содержащей ф', и выделено калибровочным условием
(109):
/>“[ ФЕ] = С“. (117)
Определитель det Q-I[|], появляющийся в (116), есть известная
правоинвариантная мера на G; он удовлетворяет равенству
detQ-1[ir]d(il') = detQ-l[|]d| для всех |' ? G, (118)
где ||'— групповое произведение | и |'. Его присутствие обеспечивает
калибровочную инвариантность функционала А:
6'ф] = Л[?. ф] Для всех |'€G. (119)
Вследствие этой калибровочной инвариантности легко вычислить А. Нужно
лишь сдвинуть ф' в ф?, чтобы подынтегральное выражение «срабатывало» в
единичном элементе |“=0. Теперь все величины могут быть разложены в
степенные ряды по |“. Например, аргумент дельта-функционала принимает вид
р“ [*фЕ] — 1а = Р% [ф?] - г + P\i [ф?] О'в [ф?] Sp =
= <№[Ф?]НВ + ..., (120)
откуда
ДК, Ф] = 5б[д[/з[Ф?]]|+...](1+|1гс|+...)^| =
= (det Е[Фс])-1, (121)
где F — матрица с элементами
def
F%[<p] = Qa6[P [<(]). (122)
В более общем случае, когда Ра не выбраны так, чтобы удовлетворять
дифференциальному уравнению (110), F определяется выражением
det
Ра& [ф] = Pa,i [ф] Q*e [ф]- (123)
Теперь подставим в подынтегральное выражение (108) единицу
в виде (А [|, ф)]-1 J 6[Р [6ф1 —11 det Q~l l|] d| и поменяем
порядок
в
интегрирования; это дает
<out|in> = tV JdetQ-^Ijdl^^e^ti’^A^ ф])_16[Р[5ф] —?]. (124)
о
Мы видели выше,’ что элемент объема d<p калибровочно-инвариантен.
(Напомним, что теперь p=const.) S 1ф] и А[|, ф] также калибровоч-
348
Б. С. Де Витт
но-инвариантны. Поэтому верхний индекс | может быть приписан любому ф в
подынтегральном выражении (124), если только данное ф не имеет уже его.
Но тогда любое 6ф есть немое поле, и все | можно опустить. Используя
(121), мы немедленно получаем
