Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
одночастичный пропагатор, a GAi ? Ап, 3,— многочастичные функции Грина (в
статистической механике они называются корреляционными функциями); они
удовлетворяют граничным условиям, определяемым состояниями «in» и «out».
Любой функционал источников JА можно также рассматривать как функционал
средних ф'4. Из (152) и (153) видно, что одночастичный пропагатор
является матрицей преобразования от одного набора переменных к другому:
(156)
Этот факт можно использовать для установления важного соотношения между
функционалом W и швингеровским средним от операторных полевых уравнений.
Последние получаются из формального функционального тождества
О = —ie~iWN (det у)1/» jV (S+^<p+^x+7>i>)_A- d(pdxdty=* <St A> + JA.
(157)
Здесь St A — оператор, соответствующий функционалу StA, но ввиду
присутствия фермионных полей мы должны теперь делать различие между
правым и левым дифференцированиями. Когда все источники исчезают, в
равенстве (157) индекс А становится равным t, и оно приводится к виду
О = <S.,> = <S„. + РуР,, - i On det F)„.>. (158)
Это как раз уравнение (23) с добавлением упомянутых выше опущенных членов
(содержащих Р и det F).
Если мы продифференцируем (157) слева по У в и воспользуемся соотношением
(156), то получим
ОвссАа>=~Ьва- (159)
Здесь функциональная производная в скобках <. , .> берется по полевому
оператору фи, а функциональная производная вне скобок берется по
усредненному полю фс. Легко видеть, что с, <S, Ау есть оператор,
одночастичным пропагатором для которого явля-
12*
356
Б. С. Де Витт
ется функция Грина. Можно показать, что в силу своих граничных условий
GBC является одновременно и левой, как в (159), и правой функцией Грина.
Она обладает следующей симметрией:
GABtss^l)ABQBAt (160)
откуда следует
л.<3,я> = (-1)*+я+Л*в.<«.л>. (161)
где подразумевается, что индексы в показателе (—1) принимают значения +1
или —1 в зависимости от того, бозонные они или фермионные. Но (161)
представляет собой как раз условие существования функционала Г(<р, х> "Ф,
К, L, М], такого, что
f ,A = <S.A>- (162)
Функционал Г известен как эффективное действие. Он удовлетворяет
уравнениям
Г A — JA. (163)
jT.eG«=-eS (164)
и связан с функционалом W преобразованием Лежандра
W = T + JAyA. (165)
Это последнее соотношение можно проверить дифференцированием по JB и
использованием уравнения (163) в виде Ач Г=(—\)AJ А-Тогда имеем
l?-S;b.r+<—0-* (166)
а это есть как раз соотношение (152). Поскольку функционал Г
определен с точностью до произвольной постоянной интегрирования,
равенство (165) можно рассматривать как фиксирующее эту постоянную.
Функционал Г называют также производящим функционалом собственных вершин.
Это название основано на его связи с многочастичными функциями Грина.
Дифференцируя (164), можно связать функциональные производные
одночастичного пропагатора с производными Г. Эти соотношения приводят,
например, к такому равенству:
GABC = ?- GBC = GaddGbc =
»*(_ i)(B+c>d+(c+/>) е+(/>+*•) гGADGBEGCFDBFT. (167)
Если пропагаторы изображать линиями, а третьи и более высокие производные
Г — вершинами, легко увидеть, что каждое новое дифференцирование по
источнику добавляет всеми возможными
VI. Квантовая гравитация: новый синтез
357
способами новую линию в предыдущие диаграммы. Таким образом, каждая
функция Грина данного порядка представима как сумма всевозможных
древесных диаграмм этого порядка. Из того, что (при существовании
асимптотических областей) 5-матрицу можно выразить через хронологические
произведения, появляющиеся в (151), и из того, что эти произведения
выражаются через функции Грина (154), (155), следует, что при
использовании Г для построения S-матрицы нужны только древесные
диаграммы. Никаких замкнутых петель не появляется. Вершины, порожденные
функционалом Г, являются собственными вершинами; в них уже включены все
квантовые поправки. Замечая, что аналогичные древесные диаграммы
появляются в классической теории возмущений, но с заменой Г на S, можно
показать, что Г описывает динамику когерентных полей большой амплитуды с
квантовыми поправками. Это должно быть справедливо и в случаях, когда не
существует асимптотических областей и нет S-матрицы.
5.8. ТОЖДЕСТВО УОРДА—ТАКАХАШИ
Вернемся теперь к использованию символов ср', %а, ф“, Jt, Ja, Ja и
перепишем (165) в более явной форме:
W[J, 1, /, К, L, М] = Г [ф, х. ф, К, L, M] + J & +Ta%a + Jаф°.
(168)
Средние ф', %а, ф“ зависят от всех шести источников, но, поскольку Ki,
La, М не участвуют в преобразовании Лежандра, можно показать, что
6й7 _ _бг _ 6Г dW дГ
6Ki~bKi’ f>La~6La' дМ^дМ'
где производные в правых частях относятся только к явной зависимости Г от
Ki, La, М. Этот результат в сочетании с уравнением (163) в виде А> Г=(—1
)AJА позволяет переписать (148) в виде
_iT«f+?r (i70)
бфibKj дМ бф“ 6La ' 7
Это и есть тождество Уорда — Такахаши.
Тождество Уорда — Такахаши имеет важную связь со структурой Г. Тот факт,
что из него следует существование определенного рода симметрии, присущей
