Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
После таких вольных манипуляций с формальными выражениями нам следует
теперь убедиться, что в наши результаты не привнесено никаких
несоответствий, для чего нужно непосредственно проверить, например, что
правая часть (130) в самом деле не зависит от того, как выбраны
функционалы Я“[ф] и матрицы уар. Очевидно, правая часть (130) будет
затронута, если мы наивно перейдем к Р%, для которых подпространства
Яа=?“ не пересекают всех орбит или же пересекают их неоднократно. Однако
при инфинитезималь-ных изменениях Ра и уар должна иметь место
инвариантность.
Способ проверки состоит в следующем. Заменим каждое <рг в интеграле на
ф', где а)
del
ф' = ф' + <2'а[ф]б?а[ф]. (135)
б|“[ф] = ^'ав[ф] (б^[ф] + т7-1РЯв^[ф]) • (136)
Поскольку ф' — переменные интегрирования, их замена остается без
последствий. Однако нетрудно показать (подробности см. в работе [23] или
[25]), что 1) экспонента получает точно такое изменение, какое она
получила бы, если бы Ра и уар были изменены на инфинитезимальные величины
6Ра и буаР соответственно; 2) то же самое верно для произведения (det
у)1/* det ЯфЫф, если считается допустимым положить
Q‘a. f = 0, сраР = 0. (137)
С такой оговоркой инвариантность интеграла (130) доказана.
!) При многих способах выбора Р матрица F является эффективно
дифференциальным оператором и, следовательно, F~l (136) — функцией Грина.
Эта функция Грина должна удовлетворять краевым условиям, согласованным с
сотояния-ми «in» и «out».
VI. Квантовая гравитация: новый синтез
351
Уравнения (137) не были нужны для вывода формулы (130). Почему же они
понадобились теперь? Ответ заключается в том, что они навязаны нам
процедурой отфакторизации калибровочной группы. Перестановка нами порядка
интегрирований при получении выражения (124) и использование равенства
(126) равнозначны тому, что мы формально обращаемся с калибровочной
группой так, как если бы она была компактной. При этом для
согласованности ассоциированная алгебра Ли также должна рассматриваться
как компактная. Генераторы действительных представлений компактных алгебр
Ли все должны иметь нулевой след. Отсюда равенства (137).
В теориях Янга — Миллса условия (137) выполняются автоматически,
поскольку порождающая группа всегда компактна. В теории гравитации
ситуация более сложная. Как Q‘ai it так и сРар, если пытаться их
вычислить, представляют собой бессмысленные выражения, включающие
производные дельта-функционалов с совпадающими аргументами. Однако оба
они являются не зависящими от метрики векторными плотностями веса 1.
Любая разумная регуляризация должна приписать им значение нуль, так как
иначе пространство-время будет иметь выделенное направление еще до того,
как оно будет наделено метрикой. Можно заметить, что условия (137) и
(103) согласуются с условием р=1. Однако вывод о том, что Qa. ;=0,
возникает из одного только факта, что под действием группы
диффеоморфизмов поля ср' преобразуются линейно, и никак не связан с
конкретным выбором метрики у и в виде (104), (105). Это означает, что
вклады в функциональный интеграл, возникающие от степеней g, которые
сохраняются в определителе (106), (107) при размерностях, отличных от 4,
или при выборе полевых переменных, отличных от должны быть подавлены в
любой жизнеспособной схеме регуляризации *).
5.6. «Д^ХИ»; ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БРС; ПРОИЗВОДЯЩИЙ ФУНКЦИОНАЛ
Формулы (130) и (133) ведут к правилам теории возмущений стандартного
типа. Присутствие Ра в экспоненте нарушает калибровочную симметрию и
устраняет избыточность, имеющуюся в интеграле (108). Но одна важная
симметрия остается. Легче всего увидеть ее, вводя два новых
антикоммутирующих поля 1а и ф“ и используя формальные правила
интегрирования по таким полям, введенные Березиным [61. Эти правила
аналогичны во многих отношениях известным правилам для обычных
определенных интегралов от —оо до оо с подынтегральными выражениями,
асимптотически обращающимися в нуль. Например, интегралы от полных
производных обращаются в нуль и положение нулевой точки можно
М Сохраняющиеся степени g дают в экспоненту функционального интеграла
вклад вида const X 6(0) \ In gd“x.
352
Б. С. Де Витт
сдвигать. С другой стороны, при использовании правил Березина
преобразования переменных и взятие гауссовых интегралов ведут к
детерминантам, в точности обратным тем, которые дает стандартная теория.
В частности, получаем
S exp(tXa^aB^p)c!x^==C'detf [<р], (138)
где С'— некоторая (расходящаяся) постоянная. Этой формулой можно
воспользоваться для того, чтобы представить интеграл (130) в виде
<out| in> = JV (det v)'/.Jexp [t (5[ф] + у/3[ф]у/>[ф] +
+ Х^[ф]ф)] d<fd%dq, (139)
_del
N = N"lC'. (140)
Бекки, Руэ и Стора (БРС) [4] обнаружили, что как экспонента, так и
элемент объема d<pd%dVp в интеграле (139) инвариантны относительно
совокупности преобразований, инфинитезимальные формы которых имеют вид х)
V * Q'a [ф]
бХа = ?аЭ^Р[ф]^, (141)
6ф“ = — i.c“ev\|>V8A,,
где 8Я, — инфинитезимальная антикоммутирующая постоянная. Используя
