Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
антикоммутативность переменных х, ф, 6Х, с учетом тождества (97) и
определения (123) нетрудно убедиться в инвариантности экспоненты.
Вычисляя якобиан Березина для преобразований БРС, находим, что элемент
объема dydxdty также инвариантен при условии, что выполняются уравнения
(137). Прямым вычислением можно убедиться, что преобразования БРС
образуют абелеву
группу, если ограничиться лишь переменными ф и ф.
Включение
переменных х нарушает групповое условие, если только не выполняется
равенство Г“й(ф1фв=0.
Поля Ха и фа называют «духовыми» полями. Они не приводят к появлению
физических квантов, но играют важную роль в теории, особенно при введении
так называемого производящего функционала. Первоначальная теория
производящего функционала принадлежит Зинн-Жюстену; мы будем следовать
изложению этой теории, данному в работе [60] и примененному к случаю,
когда Ра нелинейны.
х) Преобразования БРС для квантовой гравитации в частных калибровках были
указаны в работах [16, 26]. В работе [65] преобразования БРС были
применены к квантованию теорий гравитаций с высшими производными.
VI. Квантовая гравитация: новый синтез
353
Начнем с замены экспоненты в формуле (139) на
5[Ф, X. Ф. К, L, М] + ^,ф'+7аХа + /аФ“,
где
dei I
5[ф. X. Ф. К, L, М] = 5[ф]+у /3“[ф]Уар^Р[ф]+ХаРхв[ф]фР +
+ KlQ'a [ф]ФВ + J ^аСаруФВф1’ +МРа [ф] уарf Pv [ф] \J)V (142) и с
обобщения выражения (133):
dei
<°ut \ Т (Л[ф, х, ф])Ип> =
def _ С _ „
= N (dety)1^ Л[ф, х» ф]e^(S+?/,iP+?/x+•Л|’)dфdxdt|5. (143)
Здесь Ji, Ja, J а, Ki и La — внешние источники и «матричный элемент»
(143) является функционалом от них; Jt и La— бозонные, а остальные —
фермионные источники. Если функционал А заменить единицей, мы получим
обобщение амплитуды «in — out»:
- * def def _ » _ _ Л
eiw у, j, j, к. l, m] _ <0ut |ln> = N (det y)l/,J e1
(S+'/<^,+•,x+•,,l,)dфdxdl|).
(144)
Это обобщение, аналогичное во многих отношениях статистической сумме в
статистической механике, называется производящим функционалом, поскольку
при разложении его в ряд по степеням источников, коэффициентами будут
матричные элементы хронологических произведений полевых операторов.
Коэффициент нулевого порядка есть исходная амплитуда (139).
На функционал 5 можно смотреть как на обобщенный функционал действия. С
помощью соотношений (97) и (98) легко показать, что он БРС-инвариантен.
Допустим, что переменные ф, х» Ф в интеграле (144) подвергнуты некоторому
преобразованию БРС. Поскольку это немые переменные, интеграл остается
неизменным. Поэтому
О = Ш (det у)7* J (./ ,<2а[ф] Ф“ +7“уаВ [ф] J 7аС“ртФВф1’) X
Xe((5+/Q+7x+/4!)^dx d\J). (145)
С помощью равенства
О = J {/ [ф]е‘ (?s+/<p+Jx+j>t>)) d ф dx d\f =
= (/‘‘“p [ф] фр — У“)^[ф]в‘ (s+j((+7x+j\]» dyd%d\|з, (146)
где / — любая функция ф, этот результат можно представить в фор-
ме
О — iN (dety)V.J euS+Mt+Jx+Tw dфdxdф
б . д_________j _b_
bKi + дМ Ja Ыа
(147)
12 № 1230
354
Б. С. Де Витт
или
,6W , 6W у 6W л ,1/1йч
аЖ^~ <148)
Уравнение (148) выражает важное свойство симметрии
производящего функционала и прямо ведет к тождеству Уорда —
Такахаши,
которое рассматривается в разд. 5.8. Отметим, что производная по М
является обычной частной производной, а не функциональной производной; М
не несет никаких индексов и потому не зависит от пространства-времени.
5.7. МНОГОЧАСТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА; ЭФФЕКТИВНОЕ ДЕЙСТВИЕ
В этом разделе существенным образом используется швингеров-ское среднее
<A>=<0U<cmt^iri> • (149)
Здесь А — произвольный функционал операторов q/, Ха, Фа. a числитель и
знаменатель в правой части определены формулами (143) и (144).
Если «in» и «out» — вакуумные состояния, а источники обращаются
в нуль, это выражение превращается в швин-
геровское среднее (24). Удобно ввести
def def de!
ф' = <ф'>, Ха = <Ха>. фа = <фа>. (150)
Если источники Ki, La, М, 7“ и /а обращаются в нуль, средние Ха и
обращаются в нуль и, кроме того, обращается в нуль Jt, то ц>1
превращается в среднее, введенное в (25). Заметим, что хотя символы ф',
Ха и фа выше были использованы для переменных интегрирования, никакой
путаницы относительно их смысла на практике не возникнет.
Удобно также ввести коллективные обозначения: «р-4 — для операторов ф',
%а, ф“; <рА — для их средних и 3 А — для J„ 7\ 3а. Пусть AJА —
произвольные приращения источников. Тогда
мы можем написать 00
2 ^АУ/,„...АУл,<ои1|Г(ф'4>...ф'4») |in> =
п = 0
= ехр^АУл <out | in> = (eiW)j^.j+u **
= exp[iW + i&3Aq>A + i'? ^\ЫА„.. .АЗа,0а'---Ая^, (151)
где
ф,=<(р,>==в-^1_(152)
GA'-An-bTT---uzw- (153)
VI. Квантовая гравитация: новый синтез
355
Разделим обе части равенства (151) на eiv и, сравнивая одинаковые степени
AJA, получим бесконечную последовательность соотношений
<«рЛфя> = фЛ<рв — ШАВ, (154)
<фЛф®фс> = фЛфяфс — iP3<pAGBC -)- (— i)% GARC, (155)
и т. д., где РN обозначает сумму по N различным перестановкам индексов,
причем каждое слагаемое берется со знаком плюс или минус в зависимости от
четности или нечетности перестановок фермионных индексов; GAB—
