Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
Канонические же координаты выделены тем видом, который принимают при их
использовании величины . Можно
344
B.C. Де Витт
показать [21], что
I+-±TC-P + iric-P)'+..., (112)
где / — единичная матрица (дельта-функция) и
del def
Q(^)=[QaBH], с-р = (с\,pv). (113)
Ряд (112) сходится для всех значений Ра. Для некоторых значений
(непрерывная) матрица Q-1 может иметь нулевые корни, что вызовет
неограниченный рост правой части равенства (110). При таких значениях
система канонических координат становится сингулярной. Однако
сингулярности не являются пороком этой системы. Канонические Ра
аналогичны угловым координатам. По мере пробегания ими допустимой области
(от —оо до оо) каждая орбита может быть пройдена много (бесконечное
число) раз. Но каждый набор значений Ра на данной орбите по-прежнему
задает единственную точку на ней.
Для полного определения функционалов Я“[ф] недостаточно одних только
уравнений (110). Нужны дополнительные условия, чтобы «выровнять»
соответствующие точки на соседних орбитах. Один из возможных способов
такого выравнивания состоит в следующем. Введем в пространстве полей Ф
несингулярную метрику уи, удовлетворяющую требованию (101). Потребуем,
чтобы матрица yuQaQ'fi была несингулярной на всех орбитах общего вида,
чтобы никакой вектор не мог быть одновременно и касательным, и
ортогональным к какой-либо из орбит. Тогда в пространстве орбит Ф/G может
быть индуцирована ассоциированная метрика путем задания расстояния между
соседними орбитами в Ф/G как нормального расстояния между ними в Ф. В
чисто гравитационной теории если yij берется в виде (104), (105) и
выбирается А,=—1, то ytjQ 'aQ>& представляет собой некоторое обобщение
оператора Лапласа — Бельтрами для векторных полей. Для асимптотически
плоского пространства-времени этот оператор несингулярен, так что
требуемое условие может встретиться в практически важных случаях. Другое
свойство этой частной метрики у и состоит в том, что с ее помощью любая
пара точек в Ф может быть соединена единственной геодезической. Методы
доказательства этого свойства можно найти в работе 122], и в дальнейшем
мы будем предполагать наличие такого свойства.
Выберем некоторую орбиту общего вида и назовем ее базисной орбитой.
Единицу группы на этой орбите назовем базисной точкой. Пусть V есть
подпространство пространства Ф, порожденное множеством всех
геодезических, выходящих из базисной точки в направлениях, ортогональных
к базисной орбите. Можно показать [22], что геодезическая, пересекающая
ортогонально одну орбиту,
VI. Квантовая гравитация: новый синтез
345
ортогональна ко всем орбитам, которые она пересекает на своем протяжении,
и, более того, она описывает геодезическую кривую в пространстве орбит
Ф/G. Используя тот факт, что каждая пара точек в Ф может быть соединена
единственной геодезической и геодезическая не может быть одновременно и
касательной, и ортогональной к какой-либо орбите, можно показать, что V
непременно пересекает все орбиты. Чтобы избежать пересечения данной
орбиты подпространством V более одного раза, мы можем оборвать каждую из
порождающих геодезических, как только она коснется граничной точки
пространства Ф/G. Тогда V есть топологическая (но не обязательно
метрическая) копия Ф/G 1).
Если построить другое подпространство V, подобное К, но выходящее из
другой точки на базисной орбите, то оно тоже будет пересекать все орбиты.
Поскольку групповые операции представляют собой изометрии уц, все Ра
будут постоянны на V'. Другими словами, если единичные точки «выровнены»,
то все остальные точки тоже автоматически будут выровнены.
Использование ортогональности для построения представляющего
подпространства Ф/G — не новая идея. Однако она обычно применяется в
довольно несовершенной форме путем выбора функционалов Р'х в виде
det
Ра[<р] = Q‘a[g]yij[sW> Ф{== (П4)
где g‘— фоновое поле. Например, если уц имеет вид (104), (105), то при
выборе Рг в виде (114) условие Ра=0 имеет форму
^/•(2V + *VV);v = 0. (115)
Если еще положить А,=—1, то получим калибровочное условие, весьма
популярное в теории гравитации. (Здесь поднятие и опускание индексов
происходит с помощью фоновой метрики g^, и через нее же определена
ковариантная производная.)
Условие Ра=0 с Р'1 в виде (114) или в более общем случае условие
(109) с Ра в виде Ра№Ф‘ при некоторых Pai называется линейным
калибровочным условием. Линейные калибровочные условия весьма удобны в
теории возмущений, где квантованное поле никогда не отличается слишком
сильно от фонового поля. Ковариантные (по отношению к фоновому полю)
калибровочные условия, подобные (115), обычно являются наилучшими, но для
некоторых целей более полезны нековариантные калибровки (например,
кулоновская
Ч Чтобы получить представление о том, какие могут возникнуть метрические
ситуации, представим себе Ф как R3 и О как группу винтовых движений
вокруг некоторой оси с фиксированным шагом. Тогда орбитами будут винтовые
