Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
лишь с точностью до диффеоморфизмов, отображающих границу на себя.
В последующих разделах будет показано, как подход, основанный на таком
интеграле по траекториям, может быть применен к квантованию гравитации и
как он ведет к понятиям температуры черной дыры и квантовомеханической
внутренней энтропии.
366
С. Хокинг
2. ДЕЙСТВИЕ
В общей теории относительности действие обычно берется в виде
7 = T6HG I ^ - 2ЛН - 8)'и d'x + $Lm(- gywx, (1)
где R — скалярная кривизна, Л — космологическая постоянная, g —
детерминант метрики и Lm — лагранжиан материальных полей. Используемые
единицы таковы, что с=Д=А= 1. G — ньютоновская постоянная; иногда я буду
пользоваться единицами, в которых и G=l. При вариациях метрики, которые
обращаются в нуль вместе со своими нормальными производными на границе дМ
компактной области М, это действие стационарно, если и только если
метрика удовлетворяет уравнениям Эйнштейна
Rab — ~2' 8abR + A.gab~&nGTab, (2)
где ТаЬ= у (—g)-,/' (&Lm/&gab) — тензор энергии-импульса материальных
полей. Однако действие не будет экстремальным, если допускаются вариации
метрики, которые сами обращаются в нуль на границе, но их нормальные
производные не обращаются в нуль. Причина состоит в том, что скалярная
кривизна R содержит члены, которые линейны по вторым производным метрики.
Интегрированием по частям вариация этих членов может быть превращена в
интеграл по границе, который содержит нормальные производные вариации
метрики на границе. Для того чтобы устранить этот поверхностный интеграл
и получить, таким образом, действие, стационарное для решений уравнений
Эйнштейна при всех вариациях метрики, исчезающих на границе, нужно
добавить к действию член вида [18]
(3)
где К — след второй фундаментальной формы границы, h — индуцированная
метрика на границе; знаки плюс или минус выбираются в зависимости от
того, пространственноподобна или вре-мениподобна граница, а С — член,
который зависит только от метрики на границе дМ, но не от значений
метрики во внутренних точках. Необходимость добавления к действию
поверхностного члена (3) в подходе с интегрированием по траекториям можно
увидеть, рассмотрев ситуацию, изображенную на рис. 3, где рассматривается
переход от метрики hi на поверхности Si к метрике h2 на поверхности S2 и
затем к метрике Л8 на более поздней поверхности 5». Потребуем, чтобы
амплитуда перехода от начального состояния к конечному получалась
суммированием всех состояний на промежуточной поверхности S,, т. е.
| hiSi)> = ^ <й2, S, | hi,Si> <hs, St | ht,St>. (4)
VII. Интегралы по траекториям
367
Это справедливо, если и только если
/[gj+gtJ = /[gi]+/[?.], (5)
где gi — метрика между S! и S2, gi— метрика между S, и S,, а t&i+g»] —
метрика в областях между S, и S2, полученных соединением двух прежних
областей. Поскольку нормальная производная gi на St, вообще говоря, не
равна нормальной производ-
Рис. 2. На граничной поверхности нужно задать только индуцированную
метрику А.
В асимптотически плоском случае аачальную а конечную поверхности следует
соединить времениподобной трубкой большого радиуса, чтобы область, над
которой производится интегрирование по траекториям, была компактной.
Рис. 3. Амплитуда перехода от метрики Aj на поверхности Sj к метрике As
на поверхности S8 должна быть суммой амплитуд перехода во все метрики Аг
на промежуточной поверхности St-
Эго условие будет выполняться, только когда действие содержит
поверхностный член.
ной g2 на 52, метрика [gi+g2] будет иметь в тензоре Риччи дельта-функцию
с множителем 2 {К1аь—К1ь), где К1сЬ и К\ь — вторые фундаментальные формы
поверхности S2 при метриках gt и gt соответственно; они определены по
отношению к нормали, на-
368
С. Хокинг
правленной в будущее. Это означает, что соотношение (5) справедливо, если
и только если действие является суммой (1) и (3), т. е.
1=mr) 2Л><?~еУи**+§Lm(-?)?/.d*x+
+ 8^§K(±W'd>x + C. (6)
Появление члена С в выражении для действия довольно неприятно. Его можно
было бы просто включить в перенормировку меры D [g, Ф]. Но в случае
асимптотически-плоской метрики естественно взять его в таком виде, чтобы
вклад от времениподобной трубки при больших радиусах был -равен нулю,
когда g совпадает с метрикой плоского пространства: ^=tj. Тогда
c=-8kSK°(±hr/,d% (7)
где К0 — вторая фундаментальная форма границы, вложенной в плоское
пространство. Это не вполне удовлетворительный рецепт, так как, вообще
говоря, метрика границы h не может быть вложена в плоское пространство.
Однако в асимптотически-плоской ситуации можно предположить, что граница
становится асимпто-тически-вложимой при увеличении радиуса. Я подозреваю,
что в конечном счете следует отбросить все граничные поверхности и иметь
дело только с замкнутыми пространственно-временными многообразиями.
Однако при нынешнем уровне развития теории очень удобно использовать
некомпактные асимптотически-плоские метрики и вычислять действие,
используя границу при большом радиусе.
