Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
эквивалентное (37) выражение 00
G (х, х') = I J *-/. (х) К (х, х', s) *-/. (х') ds, (38)
О
где функция К удовлетворяет дифференциальному уравнению
?%-$К(х, х', s) = g-'/*Fg~'/‘K(х, х’, s) (39)
и «начальному» условию
К(х, х', 0) = 6(х, х'). (40)
Когда пространство-время неполное, функция К должна также удовлетворять
определенным условиям на границе. В проблеме Кази-
*) Из существования действительно следует единственность, когда простран-
ствеино-временнбе многообразие является полным, а от соответствующих
базисных функций требуется, чтобы они были ограниченны.
VI. Квантовая гравитация: новый синтез
323
мира эти условия элементарны, но если неполнота обусловлена
геометрическими сингулярностями, они могут включать аналитическое
продолжение и (или) конформное преобразование метрики.
Теперь вклад скалярного поля в классическое действие может быть записан в
виде
= (41)
Поскольку 7’|lv=26SCK/6gtlv, из (29) следует, что при вариации метрики
bg^, и соответствующем изменении бF оператора F функционал W получает
изменение
6^J<,6/^=-±tr(G6F), (42)
где при переходе к этой окончательной форме использовано равенство (33),
а интегрирование по пространству-времени заменено символом следа.
Оператор бF является локальным, поэтому взятие следа связано с пределами
совпадения (по пространственноподобным
направлениям) не выписанных явно аргументов х и х'. Поскольку /•>=0,
равенство (42) можно также записать в виде
бГ=Т J<*‘/4*6 (g~4'Fg~4')g44>>dnx=
= - уtr W'>Gg4* (g-4<Fg~l/>)l (42')
который позволяет использовать представление (37):
6Ц7 = б I tr \ -t— exp (ig~4*Fg */«s) ds
(43)
Это вариационное уравнение непосредствено интегрируется; получаем
следующее формальное выражение через функцию К?
се
W = Т ^ Is К (s)ds + const. (44)
О
def
/С (s) = ) К {х, х, s) dnx. (45)
4.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ K<x,x',s)
Когда х и х' близки, удобно ввести представление функции К, которое
подсказывается ее формой в плоском пространстве-времени:
Ж*. s) = Ю1('^п9 e(l72s>q^>-^А(х, х', s). (46)
Здесь п — размерность пространства-времени, о(х, х') — половина квадрата
геодезического расстояния между х и х', D (х,х)—
11*
324
Б. С. Де Витт
определитель пХп:
D(*,*')--det[-J*i^]. (47)
a A(s, s', s) удовлетворяет граничному условию
Л (х, х, 0) = 1. (48)
Подставляя (46) и (39), вспоминая, что F=g'/>([3—IR—тг), и используя
следующие уравнения, которым удовлетворяют а и D (см. [21]):
V-.vP ? = = 20, (D'/Kf. >*).ц=*/1, (49)
находим
^ = D-‘/.(п-i/?)(D‘/.A). (50)
Когда пространство-время неполно, уравнения (50) вместе с
граничным условием (48) недостаточно для определения Л. Однако их
достаточно для определения асимптотического разложения Л, справедливого
при малых s и х, близких к х':
00
Л(х, х', s)~ 2 ar(x, x')(isyr. (51)
г= о
Коэффициенты а,(х, х') определяются дифференциальными рекуррентными
соотношениями
а0(х, х') — 1,
oFarill + га, = D-/. (? -IR) (DH<a,_& г = 1, 2, 3..... (52)
которые следуют из (48) и (50). Повторно дифференцируя уравнение (49) и
используя тот факт, что
Т"* ®;nv' ~Г* §чу>
^ х—*х х’-*х
находим, что из этих рекуррентных соотношений следуют пределы совпадения
*)
о,(х. x)=(j—l)R, (53)
а,(х, X) + п R
(54)
Из уравнений (45), (46) и (51) получаем
00
к (s) ~ (4H5F-*е" X Ar (isY> (55)
г= О
1) Выражение для aa{xtx) см. в работе [42J.
VI. Квантовая гравитация: новый синтез
325
где Аг — формальные интегралы:
Ar = $g‘/,ar(x, x)dnx. ^
Из этого выражения видно, что интеграл в (44) в нижнем пределе расходится
как
±(4я)-«/*[1 А0 (isrnl2+ ^(Л-тМо) (is)-«-/»>+!+... .
Если пространство-время имеет несингулярный неизотропный край,
представление (55) не совсем верно: иногда \(х, х, s) содержит члены вида
exp[i/(x)/s], где при х, лежащем близко к крдю, функция f(x)
пропорциональна квадрату расстояния от края. Эти члены обладают
существенными особенностями при s=0, но не появляются в асимптотическом
разложении (51) *)• Однако, будучи подставлены в интеграл (45), они дают
два типа дополнительных членов к сумме в (55): члены, содержащие
полуцелые степени is, и члены, содержащие целые степени, подобные тем,
которые уже имеются в сумме. Члены первого типа возникают из-за эффекта
«перенаселения» вблизи края, который снижает эффективную размерность
пространства-времени на единицу. Члены второго типа включают внешнюю
кривизну (вторую фундаментальную форму) края, и их легче всего получить
«удвоением» многообразия, т. е. пополняя его присоединением к нему вдоль
края его метрической копии (см. [61]). За исключением эффекта краевого
перенаселения, удвоенное многообразие обладает всеми основными свойствами
исходного многообразия, но поскольку оно полное, выражение (55) может
быть применено к нему в том виде, в котором оно приведено. Компоненты
связности (в некоторой естественной системе координат) имеют разрывы по
«стыку» вдоль исходного края, а тензор Римана ведет себя здесь как
дельта-функция. Именно эта дельтафункция порождает поправки к (55) от
