Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
следующий формальный интеграл:
W = —tr 1 п (g'uGg'!*) + const = (71а)
= у ? I п [ А. (а) + tn% — Ю] + const. (716)
а
Сравнивая (63) и (716), получаем еще одно выражение для W:
W = —(0) +const. (72)
Между выражениями (44) и (72) есть важное различие. В то время как
интеграл в (44) расходится в нижнем пределе, выражение
(72) конечно *), в чем можно убедиться, дифференцируя (65) и ана-
литически продолжая из области Яег>п/2 к z=0. Отбрасывая в
4) Автор признателен Дж. Даукеру за это доказательство. а) Точнее говоря,
оно представляет собой формальный интеграл по пространству-времени от
конечной геометрической величины.
VI. Квантовая гравитация, новый синтез
32Э
(72) постоянную интегрирования, находим
/ 00 вк {<Y+1) (Л, /иМ0)—Jin (is) (ж) V <т*5Л (s)] ids |
00
WBB\te"<т,’лids <"=3)’
о
32л*{(^^t) (^' mMi+ym4^o)
« ,
—-^Jln (is) ([е^Л (s)]/ds j (n = 0 '
0
(n = 4) (73b)
(736)
и T, Д.
Этот метод получения конечного значения для W использовался Даукером и
Критчли [27] и Хокингом [48] и известен как регуляризация через дзета-
функцию. Есть другой распространенный метод, известный как размерная
регуляризация, который приводит к весьма похожим результатам. В этом
методе выражение (46) подставляется в (45) и (44), a W определяется
аналитическим продолжением по размерности пространства-времени п. Когда
физическая размерность нечетна, метод, использующий дзета-функцию, и
размерный метод дают тождественные результаты. При четной физической
размерности результаты по размерному методу отличаются от выражений (73)
в членах, содержащих А0, Аи А3 и т. д. Для того чтобы получить результаты
размерной регуляризации, нужно в (73) множители, содержащие постоянную
Эйлера у, заменить определенными функциями п, каждая из которых имеет
простой полюс при соответствующей физической размерности.
Явно выделенные величины А принято рассматривать как пере-нормировочные
члены, которые должны быть поглощены контрчленами в классическом действии
S. Поэтому обе регуляризационные схемы приводят к одним и тем же
физическим результатам. Отметим, что при /1=4 в классическое действие
должен быть включен контрчлен, пропорциональный Аг. Такой контрчлен
требует введения новой неклассической константы взаимодействия. О
некоторой неоднозначности, которая возникает из-за присутствия такого
члена, будет сказано ниже.
При простом отбрасывании в (73) перенормировочных членов мы не получаем
полностью перенормированного W. Нужно еще исключить некоторые другие
члены. Рассмотрим сначала случай тф0. Интегрированием по частям можно
непосредственно убедить-
330
B.C. Де Витт
ся, что
со
8ji S ,П (il) V te*SA <S)] ids -
= tt^ren —(? + In mJ) (Л, -mM0) —^ At (n = 2),
v, § (®) * ie~ <я,,‘л ^ ‘ds=
0
= г™-т&(4'4>-,7гМ*>) («=3)>
11 n (ts) (il)3 te“ im’SA ids=
0
= ^ге" ~3^(v + ln/n2) (i42 — mM, + y mM0) —
32л2 (тA* T m*Ai) (n = 4)>
(74)
(75)
64л2
(76)
где
W =
" геп —
i
18л
OD
ji?e"im,s[A(s) — A> — 4i(ts)]ids (« = 2), (77a)
0
00
^J(ie"^[A(s)_/4o_i4l(,s)]Ws (n = 3)’ (776)
16л (is)
i J (4)3 e~ im‘S tA (s)—Ao—A (is)—At (is)2] ids (n=4).
(77b)
ft^ren есть полностью перенормированное U7. Отметим, что его можно было
бы получить непосредственно из выражения (44), просто вычитая из K(s) в
каждом случае столько первых членов асимптотического разложения, сколько
нужно для того, чтобы интеграл стал сходящимся. Эти вычитаемые члены
можно считать соответствующими AW в формуле (32).
Этот простой вычитательный алгоритм применим также при /п=0 и нечетном п.
Но он не всегда применим при т=0 и четном л; при этом приходится
исследовать каждый случай отдельно. Трудность здесь в том, что теперь в
подынтегральных выражениях в (77) уже нет множителя е~imH , поэтому нечем
контролировать сходимость интеграла при верхнем пределе. Эта проблема
возникает не из-за функции Л (s), поведение которой при верхнем пределе
пред-
VI. Квантовая гравитация: новый синтез
331
полагается хорошим, а из-за вычитаемого члена более высокой степени по
is, а именно из-за члена в А п/2-
Рассмотрим сначала случай п—2. Тогда по формуле Гаусса — Бонне Ах
пропорционально характеристике Эйлера — Пуанкаре данного пространства-
времени. Поэтому оно не просто конформноинвариантно, но также и
метрически-инвариантно и не дает вклада в перенормированный тензор
натяжений
<Ti*evn> = 26rren/6gtlv. (78)
Это означает, что (77а) можно формально использовать в уже выписанном
виде; при этом получим
(Ш=0, п=2), (79)
Г-Ч*. s) = 2^. (80)
Величина в квадратных скобках в формуле (79) порядка (is)3 при s-H), и,
следовательно, интеграл сходится.
Случай /1=4 значительно сложнее. Положим |=1/4(я—2)/(я—1) = =1/«, так что
уравнение поля будет конформно-инвариантным. Тогда at(x, х)=0 (см. (53)),
и член с At выпадает из (77в). Член с А 2, напротив, не. обращается в
нуль. Более того, хотя интеграл At и конформно-инвариантен, он все же не
является метрически-инвариантным. Его функциональная производная по не
