Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
внешней кривизны.
Мы видим, что искривленные края приводят к определенным нереалистическим
и нефизическим эффектам уже в плоском пространстве-времени, например к
бесконечным значениям плотности энергии у края. В общем случае они
переплетаются со стандартными расходимостями и усложняют проблему
перенормировки совершенно безнадежным образом. В дальнейшем мы исключим
из рассмотрения многообразия с краем, если только этот край не возникает
естественным образом при аналитическом продолжении или конформном
преобразовании из многообразий без края. Тогда выражение (55) не
нуждается в каких-либо изменениях.
х) Часто имеются также члены, содержащие множители вида exp(i -const/s)
Такие члены могут появляться даже в том случае, когда многообразие не
имеет края (например, если гиперповерхности Коши компактны), и также
выпадают из асимптотического разложения, но они не вносят вклада ни в
выражение (55), ни в расходимости интеграла (44).
326
B.C. Де Витт
Другое полезное представление функции К(х, х', s) можно получить, вводя
полный набор собственных функций v(a, х) оператора
—O+IR-
(— n + t.R)v(a, x) — K(a)v(a, х). (57)
Без потери общности можно считать, что v(a, х) действительный
ортонормированны:
$ g4,(x)v(a, x)v(a\ х) dnx = 6aa-,
!jg4,(x)v(a, х) v (a, x')g‘'‘(x') = 8(х, х'). *58)
а
Если пространство-время полное (и глобально-гиперболическое), то функция
v должна быть ограниченной; если же оно не полное, то функции должны
удовлетворять определенным краевым условиям. Здесь а обозначает полный
набор нумерующих величин, а символы 6ха, и 2 следует понимать в том
смысле, что в случае, когда величины а непрерывны, они включают дельта-
функции и интегралы соответственно. С помощью функций v можно написать
К(х, х', s) = '2lg'l*(x)v(ct, x)v(a, x')g,/4(*')e_<t*(a)+m,]s, (59)
a
K(s) = 2e-‘‘lMa)+m,,s- (60)
a
Фейнмановский пропагатор может быть построен подобным же образом:
..<% V о («. х) о («. *') 1ч
&(*,*)?= 2- Х(а) + т*-Ю'' (61>
ОС
4.3. ОБОБЩЕННАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ
Свойства эфира (по крайней мере те свойства, за которые
ответственно скалярное поле) полностью определяются оператором
F
и топологией пространства-времени. При анализе взаимосвязи этих двух
факторов (например, при изучении распределения собственных значений F)
математики находят удобным ввести обобщение дзета-функции Римана.
определяемой следующим образом:
С<*, г) = (t'-Og'V <*,*>-? . №2)
С(г)=“ z)d'x = ^ (X (a) -t-m*— fl)J* ' (®6)
Ряд в (62) должен вычисляться в тех областях комплексной плоскости г, где
он сходится, тогда в остальных областях ?(х, г) опреде-
VI. Квантовая гравитация: новый синтез
327
ляется аналитическим продолжением. Сама ?(z) должна рассматриваться как
формальный интеграл по пространству-времени *).
Определения (62) и (63) строго справедливы только при использовании
безразмерных единиц (т. е. единиц, в которых K=c=G= 1), так что g'^Gg'/*,
Х(а), тг и т. п. безразмерны. В противном случае в эти определения
необходимо ввести масштабный параметр. Мы опустим здесь этот параметр, а
позднее кратко отметим, какие необходимы изменения (если они вообще
необходимы), когда он вводится. Как легко видеть, дзета-функции связаны с
функцией К:
Оо
С(*. 2) = r|l)l (is)2~lK(x, X, s) ids =
* e
(4л)п/2 Г
?/ *
J (is)*~1 ~ni2e~ im's A (x, x, s) ids, (64)
00 00
с W Ш I(t‘s)"l/C (s) ids = (4^ rM(,s)*"1 ‘ n/2e~im'sA (s) ids, (65) о
0
del n *
A (S) = \ g4' (x) Л (x, x, s) dnx (isy. (66)
r= J
Эти соотношения доставляют информацию об аналитической структуре ?(х, г).
Интегрирование по частям в сочетании с аналитическим продолжением из
области Re г>п/2 дает
00
1л (г— lfr(z+l)I^*(»s) [е~‘т *A(x,x,s)]ids(n=2), (67а)
О
8 jW' v* (т|) *[e-im,sA (х, X, s)] х
(676)
»/ w — 2) Г (z+1) 1 ^ (ids) [e_<m’sA (х, х, s)]x
С(х. г)—
(4-),,,(-т)(-т)Гс1).
х ids (п = 3),
I
(4л)2 (z-l) (г
X ids (п = 4)
(67в)
и т. д., откуда можно заключить, что, когда п четное, ?(х, г) имеет
простые полюсы в точках 2=1, 2, . . ., п/2, а когда п нечетное,— в точках
г=п/2—г, r= 1,2, . . .; никаких других сингулярностей
1) На компактных многообразиях (а также в некоторых других случаях)
этот интеграл действительно существует.
328
Б. С. Де Витт
нет. Отметим, что
10 (п нечетное),
(4W* { Ш П>2 [е"""'5Л {Х' Х’ S)i=o (п ЧеТНОе) (6$)
Представляет интерес исследовать последнее соотношение в частном случае
т=0 и %=(п—2)/4 (п—1). Уравнения скалярного поля тогда конформно-
инвариантны, и при изменении метрического тензора 6gnv=gnv6k. как легко
показать,
б (g~'uFg~'u) --------1 \g-l*‘Fg-l/<, 6к\,
откуда
б(^/.С^/.)=1{^/.С^л бЯ}, 6U^) = ztr[(^,/*Gg*/.)^]. (69) В частности,
б?(0)=0. Но из (68) получаем
0 (п нечетное),
\ (4^т> Ащ2 (п четное) f
откуда следует, что А„п (п четное) конформно-инвариантно1).
, 0 (л нечетное), *
С(0) = ч ' у. у , т = 0, ? = 4- —г), (70)
I 7тгч^1 Апл (п четное) \ ’ b * n—\J'
4.4. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И ПЕРЕНОРМИРОВКА
В дополнение к выражению (44) вариационное уравнение (42') имеет также
