Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
общековариантной схемы регуляризации. Чтобы построить такого рода схему,
мы должны начать с некоторых формальных соотношений. Допустим на
некоторое время, что мы интересуемся скалярным полем ф. Тогда <ТЙ'>
формально получается сложением соответствующих производных швингеровского
среднего <ф(х)Ф(х')> и переходом к пределу х'-*-х. Если потребовать,
чтобы х' стремилось к х по пространственноподобному направлению, это
среднее может быть связано с фейнмановским пропага-тором G(x, х') 1):
<Ф(х)Ф(х’)>=—iG(x, х'). (33)
Фейнмановский пропагатор есть функция Грина, удовлетворяющая уравнению
FG{x, х')=—Ь(х, х'), (34)
1) В общем случае в левой части равенства (33) должно стоять
хронологическое произведение.
VI. Квантовая гравитация: новый синтез
321
где F — дифференциальный оператор, присутствующий в уравнении поля /ГФ=0.
Решающее значение для теории имеют граничные условия, определяющие
функцию Грина. Когда фоновая геометрия допускает глобальный
времениподобный вектор Киллинга, относительно которого определяются
вакуумные состояния (в этом случае I in, vac>=|out, vac>), G(x, x') можно
представить как сумму соответствующих базисных функций. Если G(x, х')
рассматривается как функция х при фиксированном х', то ее можно разложить
на чисто положительно-частотные базисные функции, когда х лежит в будущем
точки х', и на чисто отрицательно-частотные базисные функции, когда х
лежит в прошлом х'1). То же верно, если G(x, х') рассматривается как
функция х' при фиксированном х, поскольку она симметрична по своим
аргументам.
Можно показать, что эти свойства получаются из следующего формального
выбора решения уравнения (34):
Здесь не обозначены аргументы х и х’, а символ /О означает добавление
единичного оператора с малым мнимым положительным множителем и переход к
нулевому пределу по этому множителю Альтернативный способ получения той
же функции Грина состоит в повороте временнбй координаты в комплексной
плоскости на 90° по часовой стрелке; при этом оператор F, который в
скалярном случае имеет вид g*/• (?— %R—тг) *), становится отрицательно
определенным. Такой оператор обладает единственной функцией Грина,
обращающейся в нуль, когда х и х' разделены бесконечным интервалом.
Фейнмановский пропагатор получается аналитическим продолжением этой
функции Грина обратно к физическим значениям времени.
Когда глобального времениподобного векторного поля нет нигде, кроме
областей «in» и «out», фейнмановский пропагатор определяется требованием
разложимости (по каждому из двух аргументов) по отрицательно-частотным
базисным функциям в области «in» и по положительно-частотным базисным
функциями в области «out». Глобально-гиперболическое пространство-время,
обладающее областями «in» и «out», может быть получено из пространства-
времени, обладающего глобальным времениподобным вектором Киллинга,
1) Когда х и х‘ разделены пространственноподобным интервалом, возможно
любое из этих двух разложений. Если имеются моды нулевой частоты
(например, когда вселенная компактна, а поле безмассовое), настоящего
фейнмановского про-пагатора не существует, и пространство состояний не
может быть построено как етрогое пространство Фока. Методы, необходимые
для такого случая, в данном обзоре не рассматриваются.
*) Здесь —det (guv), ? — оператор Лапласа — Бельтрами, 5 — постоянная, R
— скалярная кривизна, т — масса скалярного поля, а сигнатура метрики есть
—(-+... •
It .Nt 1230
(35)
def
322
Б. С. Де Витт
интегрированием бесконечной последовательности инфинитезималь-ных
вариаций метрики bg^. Требуемое граничное условие выполняется, если при
каждой из этих вариаций G получает изменение
$G = G6FG, (36)
где 6F — соответствующее изменение F. Поскольку F, а следовательно, и 6F
самосопряжены, симметрия G(x, х') по аргументам остается неизменной. Что
еще более важно, при этом сохраняется представление (35).
Естественно задаться вопросом: существует ли функция Грина,
удовлетворяющая (35) и (36) и обладающая нужным свойством симметрии, в
тех случаях, когда вообще нет областей «in» и «out»? Общего ответа на
этот вопрос пока не найдено, но известно, что такие функции Грина
существуют в тех случаях, когда можно воспользоваться техникой
глобального аналитического продолжения и (или) конформных преобразований,
включая случаи, в которых имеются геометрические сингулярности. Например,
среднее хронологического произведения гТ(ф(дс)Ф(дс')) по естественному
тепловому состоянию, связанному с черной дырой, имеет представление (35).
В этом случае данная функция единственна. Следует ли вообще
единственность из существования — это вопрос, который пока полностью не
решен *).
Представление (35) может быть записано в виде
QD
g'^Gg'^ = i ^ exp (ig~,/iFg~1'<s) ds, (37)
о
где множители g~‘/t введены для того, чтобы обеспечить общекова-
риантность подынтегрального выражения. Вопрос о существовании G может
быть заменен вопросом о существовании интеграла (37).
Восстанавливая явную запись зависимости от аргументов х и х', получаем
