Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
It. Расширенная суперсимметрия 213
в. Суперсимметричная теория Янга-Миллса в D = 10 измерениях [16]
Для произвольной компактной калибровочной группы G рассмотрим в D = 10 измерениях теорию полей Янга—Миллса, взаимодействующих с майорана-вейлевскими спинорами в присоединенном представлении группы G.
Генераторы Xi калибровочной группы G удовлетворяют алгебре [Xk, X/] = ifMmXm, где структурные константы /Wm вещественны и полностью антисимметричны. Определим матрицы
Чтобы узнать, может ли такая теория быть инвариантной относительно суперсимметрии, сосчитаем число степеней свободы для бозонов и фермионов. Поскольку и те и другие находятся в присоединенном представлении, групповой индекс можно не принимать во внимание. Каждый векторный бозон на массовой оболочке является чисто поперечным вследствие калибровочной инвариантности и безмассовости и, таким образом, описывается D — 2 = 8 степенями свободы. Каждый майорана-вейлевский спинор также имеет 2°/2-1/4 = 8 степеней свободы, как и должно быть.
Можно проверить, что действие на самом деле инвариантно относительно преобразований суперсимметрии
Доказательство инвариантности действия не очень сложно. При вариации полей возникают два вида выражений. Во-первых, это выражения вида Tr(e^DG), возникающие при вариации GlivGilv и кинетического члена спинорных полей. Они взаимно уничтожаются с помощью интегрирования по частям и использования тождества
All-=AjltXt, X = XiXi.
(Б.26)
Тогда
Действие имеет вид
Gf1V — SflAv OvAjl -(- ig [Л^, Av], D11X = O11X + ig [Лц, Л].
вид
S = J dwx Tr ( — j GlivGliv + 4 . (Б.27)
бЛ[і = г'8Г[іЛ, 6% = GlivCflivB,
(Б. 28) (Б.29)
где
J1Vp = ,,,Г*7 (Б.30)
214 Дж. Шерк
и тождества Бьянки
емАї... — о (Б.31)
с учетом свойства майорановских спиноров еГ^Я = —ЯГре. Второй вид выражений кубичен по фермионам; он возникает при вариации Aij. в минимальной связи A ^ со спинорами и оказывается пропорциональным X = ///АвГцЯД/Г^Я*. Равенство нулю последнего выражения можно доказать с помощью преобразования Фирца
* = ^/г/*ё (Б. 32)
в котором использована антисимметричность структурных констант fijk. Под P4 понимаются все антисимметризованные произведения Г-матриц, нормированные так, что Гл2 = ±1, а Ti4P4 = +1. Поскольку А; являются вейлевскими спинорами одного типа (правыми или левыми), то в (Б.32) дают вклад лишь Tl4 = Га, TliVp, TliVpaA., ГцурГ11, ГцГ11, причем вклад двух первых сортов Г-матриц, удваивается за счет двух последних. Для четных D ^^0,...00/2^ = 0, так что вклад от Г<5> равен нулю. Наконец, равен нулю также и вклад от Г(3), так как
MW3)bi = - яггРЛ = + ^rlivp(S)V
Видно, что выражение Х/Г^Р(3)Я,г симметрично по i, j и его свертка с fijk равна нулю. Окончательный результат преобразования Фирца имеет вид X = —= 0.
То. же самое действие инвариантно относительно преобразований суперсимметрии для D = 6 и вейлевских спиноров, а также для D = 4 и майорановских или вейлевских спиноров [17].
Теперь легко редуцировать теорию от 10 к 4 измерениям и получить максимально расширенную суперсимметричную теорию с /макс < 1 и 4 спинорными генераторами. .
Введем 6 вещественных, антисимметричных матриц 4X4, удовлетворяющих алгебре 5U (2) X SU (2):
{аг, а1} = {рг, р7} = - 2б‘7,
[аг, В'] = О,
[аг, а;] = — 2emak, ^Б>33^
[p\p/] = _2Ei/ftpft.
Майорановское представление алгебры Клиффорда в D = 10 измерениях записывается в виде .. ..
/О а;\
Г3+7 = ф3®(^а/ 0J, (Б.34)
11. Расширенная суперсимметрия 215
( P' о Л
Г‘+-?Чо J-
(Pi = р,- за исключением случая і == 3, когда р3 = —р3),
г" = г«...Р = 1®(° _ о3)‘
В этом представлении майорана-вейлевский спинор в 10 изме-
(
рениях имеет вид ф = ф J' гДе & = 1, 2, 3, 4, a суть четыре
обычных (D = 4) майорановских спинора.
Опуская всю зависимость от Х3+‘ и переобозначая Лц = (A11, Al, Bi), і = 1, 2, 3, мы находим среди дополнительных ком-понёНт Лц три скаляра и три псевдоскаляра. Редуцированное действие в D = 4 имеет вид
Tr {¦— 4" +4-
+ 4 (DixBi)2 + hrD^k + -§- Л* Ka1klA1 + /YsP7Wfl/), h] +
+ •%-([At,A,? + BiJ2 + 2 А<’ 5/Р)} • (Б-35)
Эта теория имеет неминимальные связи типа Юкавы и ф4, пропорциональные gag2 соответственно. Потенциал имеет нетривиальные минимумы, так что симметрия 0(6) может быть спонтанно нарушена, если скалярные поля получают ненулевые вакуумные ожидания. Замечательным свойством этой теории является равенство нулю функции Гелл-Манна—JIoy в одно- и двухпетлевом приближениях [ЗЗ]1). Возникает захватывающее предположение о точной масштабной инвариантности &той модели.
Помимо суперсимметрии лагранжиан (Б.35) инвариантен относительно глобальных преобразований группы 0(6) ~ St/(4) :
Mn = О,
бX* - -1 [еІ/Т%/ + SilmVmMil + іуЬЩцІи Xb
(Б.36)
бЛг = A'ijAj — КцВі,
ЬВі = AijBj + А.цАі,
где матрицы Au, А'ц антисимметричны. Подгруппой St/(4),ком* мутирующей с оператором четности, является просто 0(4).
*) Как было недавно показано, функция Гелл-Манна — JIoy равна нулю й в трехпетлевом приближении [51*]. — Прим. перев.
