Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хокинг С. -> "Геометрические идеи в физике" -> 77

Геометрические идеи в физике - Хокинг С.

Хокинг С., Прасад М., Гиббонс Г., Феррара С. Геометрические идеи в физике — М.: Мир, 1983. — 240 c.
Скачать (прямая ссылка): geometricheskieidei1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 90 >> Следующая


ских спиноров в 4 -f N измерениях.

') Cm. обзоры алгебр суперсимметрии [27].

2) Подобные примеры, в которых использовалась размерная редукция

С помощью преобразования Лежандра, см. в работах [50*]. — Прим. перед,
208 Дж. Шерк

б. Майорановские и вейлевские спиноры в пространстве-времени произвольного числа измерений

В пространстве-времени четного числа измерений D можно ввести матрицу Г°+1, которая антикоммутирует со всеми остальными матрицами Дирака Г°, Г1, Г°-1 и выражается

через них следующим образом: Г°+1 = IiT0F1 ... Г°-1, где ^ выберем так, чтобы (Г°+1)2 — 1. Тогда ц2 = (—1)(°-2)/2. (В более общем случае s пространственных и і временных измерений Г]2 = (—Левые и правые вейлевские спиноры определяются условиями Г°+1фі, R = ±*pL, R- Эти условия совместны с уравнением Дирака только при нулевой массе.

Дираковский спинор содержит 2°/2 степеней свободы, а вейлевский — (1/2) -2°/2.

В нечетномерном пространстве-времени вейлевских спиноров не существует. Положим D = d-\- 1, где d четно. Представление алгебры Клиффорда в (d-fl) измерениях получается добавлением к матрицам Дирака в d измерениях Г0,' Г1, . •., Td-1 матрицы /Г**+1.

Майорановские спиноры существуют только в выделенных пространственно-временных измерениях. Имеет место следующая теорема [15,28]:

Теорема. Майорановское представление Г-матриц, т. е. представление с чисто мнимыми Г-матрицами, существует в том и только том случае, когда число измерений D = 2, 3, 4 по модулю 8. Для такого числа измерений можно определить как массивные, так и безмассовые майорановские спиноры, которые вещественны в майорановском представлении.

Ход доказательства следующий. Так как Г** и (—Г**)* (звездочка означает комплексное сопряжение) удовлетворяют одной и той же алгебре Клиффорда и представление на Г-матрицах неприводимо, то существует матрица В, которую можно назвать матрицей комплексного сопряжения, такая, что

Матрица В обладает свойствами инволюции, вследствие чего В и В*-1 пропорциональны друг другу: BB* = г 1. Масштабным преобразованием В->~ХВ легко получить |е|= 1. Далее можно показать, что є вещественно и поэтому может принимать только два значения: +1 или —1. Значение е не зависит от частного вида выбранного представления Г-матриц.

Если спинор ф удовлетворяет уравнению Дирака

Hidll — еАу)^ — т)$ = 0, (Б. 14)

то В-'ф* подчиняется уравнению Дирака, в котором е заменено на —е. Таким образом, В-'ф* соответствует античастице час-
И. Расширенная суперсимметрия 209

тицы, описываемой спинором ф. Майорановские спиноры по определению описывают частицы, совпадающие со своими античастицами, что подразумевает е = О и ф = B-1^*. Это условие, связывающее вещественную и мнимую части ф, может быть наложено лишь в определенных случаях. Действительно, из него следует

¦ф = Вф. (Б. 15)

С другой стороны, ф* = (В-1)*ф (в результате комплексного сопряжения -ф = B-1Ifi*), так что

ф = В*Вг|э = еф, (Б.16)

а это возможно лишь для є + 1.

Для є = —1, как это имеет место, например, в случае евклидового 4-мерного пространства-времени, необходимо другое определение майорановских спиноров [29].

Для вычисления e(D) нам потребуется сигнатура метрики,

имеющая вид -|-------... —.

Рассмотрим представление, в котором Г-матрицы (анти)эрмитовы:

Г0+ = Г0, Г'+ =-Г', (Б. 17)

а следовательно, матрицей эрмитового сопряжения является Г°:

Tfit = TVr0. (Б. 18)

Теперь мы можем определить матрицу зарядового сопряжения С, которая связывает матрицы T^ и —Tli7-, подчиняющиеся одной и той же алгебре:

B = CV0. (Б. 19)

Тогда —Г^г =*= CT^C-1, где индекс T обозначает, транспонирование.

Вычислим (Tli)т двумя различными способами — как (Г^*)+

и как (Г^) :

(Tli)7, *= (г*)+« - (BrT1 TVli (Bf-V)-1,

(Tli)11 = (Tlit)*» - (ВТ0) Tli (ВТ0)-1.

Отсюда следует, Что В и (Bi*)-1 пропорциональны друг другу и ввиду выбранной нормировки матрица В унитарна:

BB+ = B+B= 1. Поскольку мы знаем, Что BB* = el, находим

В — еВт, (Б.20)

Cr = -SC, (Б.21)

так Что матрицы В я С либо симметричны, Либо айтисиммет* ричны. Чтобы найти е, подсчитаем двумя различными спосо*
210 Дж. ЇІ1 ер к

бами число 2D/2 X 2°/2-независимых антисимметричных матриц (здесь предполагается, что D четно). Очевидно, что оно равно (1/2)-2°/2(2°/2—1).

С другой стороны, это число можно найти, введя полный базис пространства таких матриц, построенный из всех антисим-метризованных произведений Г-матриц:

р(0) __ j р(1)ц __ p(2)HV __ _1_ JpH pv] P(D)H1111Ho

Всего имеется CDn независимых матриц Г<п)-типа. Легко показать, что

п(п-1)

CTwC-1 *=(— l)n(— 1) 2 Г(п)г, (Б.22)

т. е. матрица СГ<"> либо симметрична, либо антисимметрична:

(СГ(л))г = e(— 1) 2 СГ(П). . (Б.23)

Число антисимметричных матриц можно сосчитать, введя функцию, равную единице для антисимметричной и равную нулю для симметричной матриц:

JL і Г <n-i)(n-2)i

N = Y TLl-8(- 1) 2 jCDn = {-2D/2(2D/2-l). (Б.24)

П“ О

Суммирование проводится элементарно, если заметить, что

Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 90 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed