Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
—Амакс, (^макс 1/2)-
Таким образом мы получаем хорошо известные мультиплеты N = 1-суперсимметрии
А, А, В — скалярный мультиплет,
Aix, А — векторный мультиплет,
Фц, Ац — мультиплет с высшим спином 3/2,
Уц°, 'Фн ~ мультиплет супергравитации.
В случае расширенной суперсимметрии имеется следующая алгебра, Обозначим через Tk генераторы группы внутренней симметрии Q и введем вместо одного N майорановских спиноров,
222 Дж. Шерк
образующих спинорное представление группы G. Алгебра расширенной суперсимметрии имеет вид
[Qai, Tk] = і (Sii)kQj, (В.14)
{Qa.Qp'} (ВЛ5>
[Qai, Qii) = 2бг/(*%, Pv- (В.16)
Z‘i являются центральными зарядами, т. е. они коммутируют со всеми генераторами алгебры. Для массивных представлений группа G не фиксирована, однако в безмассовом случае Хааг, Лопушанский и Сониус [35] показали, что с необходимостью G = U (N), за исключением случая N = А, ъ котором возможно как U(4), так и SU (4). В безмассовом случае центральные заряды Z‘i, имеющие размерность массы, равны нулю, и не составляет труда найти содержание представления расширенной суперсимметрии ранга N. Каждый из N операторов Qa1 (і = = 1, ..., N) рождает состояния с положительной нормой и уменьшает спиральность на 1/2, поэтому безмассовый неприводимый мультиплет содержит спиральности I Я. j, |А|—1/2, ... ..., \\\~N/2.
Итак, мы видим, что мультиплеты полей материи, содержащие только спины 0 и 1/2, существуют лишь ло N = 2 включительно. Калибровочные мультиплеты С |А|Макс=1 существуют до N=A включительно, наконец, теории супергравитации (IXI „акс = 2) существуют д.0 N = 8 включительно.
Действуя операторами Qi' на состояние с максимальной спи-ральностью I АмаксХ мы получаем все состояния неприводимого мультиплета. Так, имеется Cnk состояний вида Q10' ... Qr“* | Я.маКс) со спиральностями Амакс— k/2. Представление является самосопряженным, если Амин = Амакс—N/2 = —Амакс, Т. Є. Амакс = = N/А. Если же оно не самосопряжено, то к нему следует добавить СРТ-сопряженные состояния вида Qia' ... Q1 “*| Амин). Рассмотрим для примера суперсимметричные теории Янга — Миллса:
к N = 1 N = 2 N=3 N=4
1 1 1 1 1
1/2 1 2 3+1 4
0 1 + 1 3 + 3 6
—-1/2 1 2 1+3 4
— 1 1 1 1 1
It. Расширенная суперсимметрия 223
Отсюда видно, что имеются всего три существенно разных типа калибровочных теорий, поскольку случаи N = 3 и N = A имеют одно и то же число полей. Все эти теории построены в явном виде и могут быть получены размерной редукцией из 10- и 6-мерных теорий [16, 17].
Аналогичная таблица для теорий супергравитации (Ямакс = S= 2) имеет следующий вид:
а, ЛГ — 1 2 3 4 5 6 7 8
2 1 1 1 1 1 1 1 1
3/2 1 2 3 4 5 6 7+1 8
1 1 3 6 10 15+ 1 21+7 28
1/2 1 4 10 + 1 20 + 6 35 + 21 56
0 1 + 1 5 + 5 15+ 15 35 + 35 70
-1/2 1 4 1 + 10 6 + 20 21 +35 56
—1 1 3 6 10 1 + 15 7 + 21 28
-3/2 1 2 3 4 5 6 1+7 8
—2 1 1 1 1 1 1 1 1
Итак, имеется 7 существенно разных теорий супергравитации, поскольку состав N = 7- и N = 8-теорий идентичен. Все эти теории могут быть построены в явно О (N) -инвариантном виде.
Поля, соответствующие этим состояниям, однозначно фиксируются д.о N = 3 включительно:
N= I V1/,. фц,
N = 2 V, V- К і= 1, 2,
N = З V, AiJ, %, I= 1, 2, 3.
При N = A возникает некий произвол, связанный с тем, что 0(4) = Sf/(2)X SU(2). Существуют по крайней мере две теории.
0(4)-теория [5—7] содержит поля ViIa, фцг, A^i = = —Av!1 (г, / = 1, ...,4), А (скаляр), В (псевдоскаляр). SU(4)-теория [8] содержит поля Fll0, Ojjli'' (г= 1,..., 4), Avn (п= 1, 2, 3) (векторы), Bv" (п = 1, 2, 3) (псевдовекторы), f (скаляр), В (псевдоскаляр),
224 Дж. Шерк
В существовании второй теории можно убедиться с помощью следующей цепочки редукции.
Начнем с простой D = 11-мерной супергравитации (Fli0, фц, -^nvp)- Редуцируя ее до D = 10, мы получаем расширенную N = = 2-супергравитацию с полями V11а, Ali, Ф, ^livp, V- Iі (i = I, 2; Tpli, % — майорана-вейлевские спиноры). Эту теорию можно редуцировать до простой (N=I) супергравитации в D = 10 измерениях с полями VlXa, Ацч, Ф, Ojjli, %. Редукция последней теории до D = 4 (аналогичная редукции D = 10-мерной теории Янга — Миллса) привела бы к расширенной SU(A)-супергравитации в 4 измерениях, взаимодействующей с 6 N = = 4-векторными мультиплетами указанного выше вида. Эта теория должна обладать явной SU(4) ~ О(6)-инвариантностью.
Обе обсуждаемые теории известны во всех деталях и фактически эквивалентны [8] до тех пор, пока группа 0(4) не становится локальной. В этом случае они неэквивалентны [36].
Для случая N = 8 простейший набор полей, совместный с О(8)-инвариантностью, имеет вид [9]
V. V- AM, AM* \ BVW,
где /= 1, ..., 8 и скобки означают антисимметризацию по всем индексам. А и В являются соответственно автодуальными и антиавтодуальными по индексам внутренней симметрии полями и представляют по 35 степеней свободы каждое. Эта теория пока известна лишь до порядка х2 включительно, но можно надеяться на построение точной теории размерной редукцией D= 11-мерной супер гравитации [49].
