Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
При построении этих теорий без применения тензорного исчисления [37] для JV>2 и суперполевых методов [38] (с помощью которых, однако, удалось воспроизвести случаи N= 1, 2, 3), а также теоретико-групповых методов [39] (с их помощью воспроизведены случаи N=I, 2) действие и законы преобразования в расширенных супергравитациях были найдены шаг за шагом по степеням и (к — корень квадратный из ньютоновской константы):
^ = ^0 + ^1 + ?2?+...,
где S’o — кинетический член полей теории, ковариантизованный подходящим образом относительно локальных лоренцевых и общекоординатных преобразований.
Например, для О (2)-супергравитации
= ~ ~ І ^'VYsY^A M V —
-j Vg^Fll9Fva, (В.17)
It. Расширенная суперсимметрия 225
и задача состоит в нахождении Sь SSi, ... и выражения для законов преобразования, которые в низшем порядке по х имеют вид
6Ffl|i= — інї‘уа V. в V = -1- DilBi+ .... (В.18)
К счастью, возможный вид неизвестных членов в действии сильно ограничен соображениями размерности и инвариантности [40]. Например, векторные поля появляются только в виде F и F2, поскольку лагранжиан содержит не более двух производных. Ферми-поля появляются только в четных степенях, и фактически необходимы члены не выше четвертой степени. Интересно, что этот результат справедлив в пространстве-времени любого числа измерений. В D измерениях х имеет размерность —1/2 (D — 2) (в единицах массы). Поля гравитино имеют размерность 1/2 (D—1). Рассмотрим рассеяние п гравитино, обменивающихся в древесном приближении (п— 1) гравитоном, так что амплитуда рассеяния пропорциональна Вследствие
калибровочной инвариантности S-матрица в древесном приближении должна быть инвариантна относительно замены Bix-+-->-ец + аPii (здесь 8ц — тензор поляризации гравитино; Pil — импульс гравитино; а — произвольный спинор). Если это не так, то в действие следует добавить контактный член вида Я2ядр(г|л|э)". Размерность К2п равна [Я2П] = D — n(D—1) — р; но, с другой стороны, K2n должна быть пропорциональна X2In-iK Таким образом,
-г- 2 (n — I) —~y~- = D — (D — \)п — р, (В.19)
или
п = 2 — р. (В.20)
Из этого уравнения выпала размерность пространства-времени, оно имеет единственное нетривиальное решение р = 0, п = 2. Итак, члены четвертого порядка допустимы (и возникают) в действии, в то время как члены вида (ф)6 запрещены. Аналогичный анализ' применим к спинорным полям у}, имеющим ту же размерность, что и ф, и, следовательно, входящим в лагранжиан в степени не выше четвертой. Отсюда следует, что расширенные супергравитации при N ^ 3 могут быть построены за конечное число шагов. С другой стороны, скалярные поля, появляющиеся при N ^4, приводят к серьезной трудности, поскольку выражение хА, где А — скалярное поле, безразмерно и, следовательно, в действии и законах преобразований допустимы неполиномиальные функции скалярных полей, разлагаемые в бесконечные ряды по х. Эту трудность можно обойти, вводя в действие и законы преобразований произвольные функции скалярных полей. Требование инвариантности действия относительно
226 Дж. ИІерк
суперсимметрии приводит к системе дифференциальных уравнений для этих функций. Такая процедура на практике довольно трудна, поскольку она включает большое число неизвестных функций, а выписывание и решение системы уравнений является довольно громоздкой и сложной задачей. К счастью, можно найти упрощающие приемы, которые уменьшают число неизвестных функций.
Таким приемом является, например, сведение к уже известным теориям. Очевидно, что О (N + 1) -супергравитация содержит как частный случай О (N) -теорию. Например, 0(3)-теория содержит после самосогласованной редукции (при которой поля, приравненные нулю, имеют нулевую вариацию) мультиплет (2, 3/2) простой супергравитации, взаимодействующий с мультиплетом Максвелла (1, 1/2) [41]. Этот факт был использован при конструировании 0(3)-супергравитации [4]. Аналогично 0(4)- и SU (4) -теории содержат как частный случай простую супергравитацию, взаимодействующую со скалярным мультиплетом (%, А, В). В простой супергравитации такое взаимодействие определяется произвольной функцией [42] G(kA, кВ), которая фиксируется требованием инвариантности относи* тельно 0(4)- или SU(4)-суперсимметрии. Например, в 0(4)-теории [7] мы обнаруживаем, что кинетический член полей А и В действительно неполиномиален:
I ¦ QW + (W ,В2П
скал 2 У [I -X2 (A2 -I- В2)]2 *
Здесь несколько обескураживает ограничение области определения полей А и В: X2 (А2 + В2) ^ 1.
Другие полезные приемы конструирования расширенных супергравитаций рассматриваются в последующих разделах. Это алгебра расширенной суперсимметрии, простота уравнений движения для фермионов и глобальная U(N)-инвариантность обсуждаемых теорий.
6. Алгебра расширенной суперсимметрии
Рассмотрим в качестве примера расширенную N = 2-супергравитацию [3] с лагранжианом
Se = — -jjjr VR (й) — Y e‘“"'4>lvsVi‘Cv (ЩІ —
- 7 VFmF" - і «•'V (Ґ* - Hf**) ¦ -
V 2 і і kl-. і . І
^xVVVV [?V - ^kVsV1] (В.22)
11. Расширенная суперсимметрия 227
