Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
"2 ^Inv1I5P]* (Б.40)
где
К = O11 + I AvaiFvfl6Ol3tl + -щ- (Tamll - 8ГР* V) Papy8.
Величина ®VOft является суперковариантным (т. е. преобра? зующимся без членов де) обобщением СВЯЗНОСТИ O0Yflft и имеет тот H^e вид, что и в случае D== 4:
®vai> — ®°vaft + -?- GM1 Ь^а ~ (Б.41)
Она отличается от значения со, которое получается в формализме первого порядка независимым варьированием со (и при замене (ю + со)/2 на со в кинетическом члене поля -ф). Последнее равно
0W = р.аЬаЧр (Б.42)
и не является суперковариантным объектом. Поэтому формализм первого порядка малопригоден в этой модели, за исключением группировки слагаемых таким образом, чтобы все х2-члены (четвертого порядка по полям) были спрятаны в со, со
*) 0(8)-теория была недавно получена размерной редукцией ?)=11 -тео* -рии супергравитации [49].
11. Расширенная суперсимметрия 219
или PlivPa. Последний объект является суперковариантным обобщением Flivpa и задается формулой
Уравнение движения для поля ф в этой теории имеет весьма простой вид
Геометрическая интерпретация Л ^vp как калибровочного поля этой теории еще не выяснена. В то время как F110 соответствует локализации сдвигов, а фц® — суперпреобразований Qa, чему соответствует Л^р, не известно.
На массовой оболочке алгебра, как обычно, замыкается, давая об ще координатные преобразования, калибровочные преобразования на A JiVp и преобразования суперсимметрии, зависящие от полей. Было бы интересно найти набор вспомогательных полей, с помощью которых алгебра замыкалась бы без использования уравнений движения.
Размерная редукция довольно сложна, и для сравнения ее результатов с О (8) -теорией нужны переопределения полей [49]. Сравнительно простая ее часть состоит в редукции эйнштейновского действия от 4 + N измерений до 4. При этом полагают, что метрика gAB не зависит от дополнительных координат Jt3+* и параметризуется в виде
При координатных преобразованиях в (3+г) направлениях с параметрами, не зависящими от *3+\ Av.1 преобразуются как N абелевых векторных полей:
где матрица g{> обратна к gijt а 4-мерные индексы поднимаются и опускаются с помощью метрики ^liv. Эта часть действия описывает обычную гравитацию, взаимодействующую с N абелевыми векторными полями и N(NI)/2 скалярами. Она имеет очевидную О(N)-симметрию и в случае gu = Sij я N=I сводится к обычной формулировке Калузы — Клейна [25] эйнштейновской гравитации, взаимодействующей с электромагнетизмом.
Обратимся теперь к рассмотрению теорий расширенной суперсимметрии и супергравитации, прямо сформулированных в
^vpa ^Vvpa
'[Hi VPW
(Б.43)
TtivpDv^p = O.
(Б. 44)
(Б.45)
Результат редукции имеет вид
f(4+JV) = Vm (det gtI)S
(Б. 46)
Ri+N = Rt - 4 gt,FvviFltiv + TSp6 feV-«V‘) dpgik dagjh (Б.47)
220 Дж. Шерк
D = 4 измерениях, а не полученных из простых суперсиммет-ричных теорий в (4 + N) измерениях.
В. Расширенная суперсимметрия и супергравитация в четырех измерениях
а. Представления расширенной суперсимметрии
Построим сначала безмассовые представления алгебры простой суперсимметрии в D = 4 измерениях:
{Qa.Qp} = 2 (Yv)apPv, (В.1)
[Qa, Mliv] = І (Ortiv)np Qp, (В.2)
где Qa — майорановские генераторы. Мы будем использовать следующее представление у матриц:
V=U :")¦ +-к оГ
Ы'о .?)•
В этом случае разложение произвольного спинора на лево-и правосторонние части (точечные и бесточечные индексы) имеет форму
построенное так, что
и алгебра приобретает вид
(?' *3р} = (?* *3$} = ® {Qa> Q$} = 2 (aV)ft^ P
(В.З)
(Є-4)
где Ov = (I, а‘).
В этом представлении С = iy2y° и майорановский спинор удовлетворяет условию
¦ф = CyV = iy2,ф*,
или
О 1
Га)
о
-1 о
о
(?)•
(В.5)
0 —1
1 О
Это уравнение связывает точечные и бесточечные индексы
^« = 8аЛ (В-6)
It. Расширенная с у пер симметрия 221
Алгебра может быть записана в окончательном виде
{Qa,Qp} = 0, (В.7)
{Qa, Qp*}= 2 (CTV)ap Pv. (В.8)
Отметим, что в (В.8) Qa играют роль операторов уничтожения, а Qa* — операторов рождения.
В случае нулевой массы можно выбрать систему отсчета, в которой Pll = (I, О, О, 1) |Р|, и, поскольку
а° + а3 = 2(д °), (В.9)
мы получаем
(QilQz) = O, (В. 10)
(Q2, Q2I = (Qi, Q2I = (Q2. QH = о, (В.11)
(Qi, QD=41P |. (В.12)
Оператор Q2 рождает состояния с нулевой нормой, и его не следует учитывать при подсчете физических состояний, имеющих положительную норму. Поэтому нам нужен один оператор рождения Qi. В выбранной системе отсчета оператор спи-ральности равен М\2. Используя соотношение (В.2) и явное представление 7-матриц, легко получить
[Qi, Ali2] =j Qi- (В. 13)
Следовательно, Qi переводит состояние со спиральностью X, определяемое уравнением Mi2|X> = А|Я>, в состояние со спиральностью Я — '/г* Итак, безмассовое неприводимое представление суперсимметрии содержит два СОСТОЯНИЯ |Амакс>, Qi I ^макс) со спиральностями Хмакс, Амакс—1/2. Чтобы это представление имело реализацию на полях, необходимо еще добавить к нему СРТ-сопряженные состояния со спиральностями
