Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
216 Дж. Шерк
Усечением этой теории легко получаются теории для M = 2 и M = 1, обладающие асимптотической свободой.
Модель M = 2, которая может быть также получена из случая D = 6 [17], представляет особый интерес как суперсиммет-ричное расширение модели Джорджи — Глэшоу. Она допускает классические решения, являющиеся суперсимметричными обобщениями магнитного монополя и диона. Квантовые поправки к массе монополя обращаются в нуль, по-видимому, во всех порядках [23,24].
г. Теория простой супергравитации в Z) = 11 измерениях
Как мы видели из алгебраических рассуждений, /)=11 является предельным числом измерений пространства-времени, для которого МОЖНО построить супергравитации (/макс = 2). Для явной конструкции [34] нам следует сначала найти поля теории. Среди них, очевидно, должны быть гравитон, описываемый репером VV(*), и майорановский спин-вектор (я)'. Кроме того, нужно ввести еще одно поле, что можно увидеть из подсчета степеней свободы, описываемых ПОЛЯМИ.
Поле вследствие общекоординатной и локальной лорен-цевой инвариантностей описывает на массовой оболочке поперечный симметричный бесследовой тензор в D — 2 измерениях. Поэтому оно представляет ‘ДФ— 2) (D— 1)—1=2 степени свободы в случае D = 4, но 44 степени свободы в случае D=Il.
Поле фц в плоском пространстве удовлетворяет обобщенному уравнению Рариты — Швингера Г^Рд^р = Oc калибровочной инвариантностью г|)р—>-г|)р дре. Можно показать, что на массовой оболочке (р2 = 0) и после выбора калибровки -уф = 0 это уравнение сводится к Pli^li = 0, = 0 [16].
Отсюда видно, что по отношению к индексу ц фц ведет себя как безмассовый вектор Ali и описывает D — 2 степени свободы. Дираковскому индексу соответствует 2t°/2iг степеней свободы. Наконец, следует учесть калибровочное условие уф = 0, исключающее степени свободы спинора. Поэтому число степеней свободы, описываемых на массовой оболочке безмассовым полем Рариты — Швингера, равно
(D — 3) 2[Ш)г. (Б. 37)
Для D = 4 и для майорановских или вейлевских спиноров это число равно 2, так что может существовать (и существует) представление суперсимметрии на полях ^li, Vli0; это хорошо известная «обычная» простая теория супергравитации.
Для D= 11 это число равно 128, и, следовательно, необхо* димы еще 84 бозонные степени свободы. Поскольку мы имеем дело с безмассовыми частицами, поперечные компоненты полей, представляющие физические степени свободы, классифицируют*
П. Расширенная суперсимметрия 217
ся по группе 0(D — 2)= 0(9) [32]. Эта группа имеет неприводимое 84-мерное представление, которому соответствует полностью антисимметричный тензор Ai,-k (і, }, k = I, ..., 9). Действительно, он имеет Сэ = 84 степени свободы. Необходимость этого тензора подсказывается также дуальной спинорной моделью [34].
Для ковариантного описания мы введем полностью антисимметричный безмассовый калибровочный потенциал Alivp, аналогичный вектор-потенциалу Ali в электромагнетизме, и потребуем, чтобы действие было инвариантно относительно аналогичных абелевых преобразований:
SAllvp = d,iiVp + dv|p|1 + дріц-у, (Б.38)
где IliV (*) = —Ivn (*) — калибровочный параметр. В кинетическом члене AliVp появится только в виде 4-формы тензора напряженностей Гцура = ЩцАураї, где квадратные скобки [ ] означают антисимметризованную сумму по всем перестановкам индексов, деленную на 4.
Чтобы убедиться в корректности набора полей Vli0, ^li, Alivp для простой супергравитации с D = 11 ив том, что, например, 84 скалярных поля вместо Alivp непригодны, мы можем редуцировать эти поля до D = 4. Известно, что мы должны получить теорию супергравитации с 8 спинорными генераторами. Набор состояний M — 8-теории будет построен в следующем разделе. Ниже приведена множественность спинов 2, 3/2, ..., 0, полученных при редукции полей Vv?, ^li, AlivP до D = 4, в сравнении с составом полей M = 8, D = 4 расширенной супергравитации.
I V а vV- jVvp Всего M=8
2 1 0 0 1 1'
3/2 0 0 8 8 8
1 7 21 0 28 28
V2 0 0 56 56 56
0 28 35 + 7 0 70 35 + 35
Мы видим, что наборы состояний согласованы. Ho при срав нении двух теорий возникает очевидная проблема: M = 8-теория, которая была построена по теории возмущений до порядка X2 включительно, имеет явную О (8) -инвариантность, в то время как теория, полученная редукцией из D=Il до D = 4, имеет
218 Дж. Шерк
лишь явную О (7)-инвариантность. Обе теории имеют 8 спинор-* ных генераторов, так что их существенное различие неправдо? подобно. Чтобы связать эти формулировки, нужно провести до? вольно сложные переопределения полей1).
Теория строится с помощью обычной нётеровской процедуры, которая оканчивается в порядке к2 в действии и порядке % в за? конах преобразований. В формализме второго порядка, в котором связность (BliOft явно выражена через Vli0 и г])ц, мы получаем
^ = - -Wr H - j^rliVP?>v -
___ У P тчцурб I 2? _dl ... QrflVftE, P Л I
48 WvP* (144)2 а' ¦ ’' ° 05 ¦'' IivP ¦
+ -щ (^rtlvapvV + 12<rYV) (Fafiy6 + Fafiy,). (Б.39)
Преобразования полей имеют вид
Wwa S== — (как и в случае D = A),
