Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
где
Dv (<в) Ojjpi = (dv + -j &vabaab) Ojjpi, (В.23)
Ftiv = ^etlvpY ра. (В.24)
Некоторые члены четвертого порядка в (В.22) исключены путем использования суперковариантной связности <в, которую можно также получить в формализме первого порядка:
Atlflb = «Ли,* -(У, dV) + (% W -
— + Vy цфЛ (в. 25)
Суперпреобразования полей имеют вид
== — JXeiYfl^ni (В-26)
(это соотношение справедливо для всех расширенных супергравитаций),
6af5P1 = І Do е* ~ І nvY(fi' . (В.27)
«Л*=-e'^V- (В. 28)
Закон преобразования поля ф имеет простую форму благодаря использованию связности <в и суперковариантного обобщения тензора Максвелла
^nv =5= + xe'^ojj^. (В.29)
Алгебру суперсимметрии можно изучать, вычисляя коммутатор двух суперпреобразований [бь бг] с параметрами єь ег. При этом обнаруживается, что алгебра замыкается точно на бозонах, в то время как на фермионах—только с помощью уравнений движения [18, 43]. Это общая черта расширенных супергравитаций; набор вспомогательных полей, благодаря которым алгебра точно замыкается, еще предстоит найти 1J.
В результате коммутации возникают преобразования двух типов:
1) преобразования, не зависящие от полей; они не исчезают, даже если поля равны нулю;
2) преобразования, зависящие от полей; они обращаются в нуль вместе с полями. Этот тип содержит локальные преобразования Лоренца, суперсимметрии и калибровочные преобразования.
*) В настоящее время известны вспомогательные полй для двух вариантов N = 2-супергравитацнн [52 *]. — Прим.. перев.
228 Дж. Шерк
Преобразования, не зависящие от полей, весьма просты и соответствуют структуре алгебры. Они состоят из:
а) общекоординатного преобразования с параметром ^(я) =
= оно имеет универсальный вид для всех N и означает,
что антикоммутатор {QJ, Qp/) содержит член вида (1Y11) ap6ilPll, где Pц — генератор трансляций;
б) калибровочного преобразования Ац(л;) с параметром, пропорциональным (\/%)ду.(г21гі>)г1К В случае О(N)-теорий (N ^ ^ 2) соответствующее преобразование имеет вид 6ЛЦ‘/ ~ ~ (1/х)ддєі[‘є2'1. Это означает, что N(N—1)/2 калибровочных полей Av,11 связаны с N(N—1)/2 операторами центральных зарядов ZiK
В случае чистой О (N) -супергравитации заряды Zii равны нулю, точно так же как равны нулю заряды в чисто калибровочной теории. Интересная ситуация возникает при взаимодействии О (N) -супергравитации с материальным мультиплетом, имеющим ненулевые центральные заряды. Известны два примера таких мультиплетов, оба т N = 2-суперсимметрии:
векторный калибровочный мультиплет (Av?, Xai (i = 1, 2), Sa, Pa), который имеет ненулевые топологические центральные заряды для решений типа монополей [24];
скалярный мультиплет Ai, Bi) (i = 1, 2) [44], который имеет ненулевой центральный заряд в массивном случае [18] (центральные заряды имеют размерность массы). Преобразования глобальной суперсимметрии на этом мультиплете дают
[Sb S2] Ф‘ =+ гта%аг№?, " (В.ЗО)
где Ф{ = Xі, Ai или Bi. Первый член соответствует обычному сдвигу, а второй — О (2)-вращению мультиплетов ф1 и ф2. Следовательно, здесь Zii = BilZ, где Z — оператор электрического заряда, собственными векторами которого являются поля ф1 ± + іф2 = ф±. Как это ни странно, но этот похожий на электрический заряд пропорционален массе.
При переходе к искривленному случаю є становится зависящим от х и скобка [61,62], вычисленная для действия мате-
риальной системы, приводит к ненулевой вариации, пропорциональной дивергенции электрического нетеровского тока, т. е. пропорциональной me2aei&d(х) -Sab, где
Л (х) = Bii [Z1Xz1 - IxtHl (В.31)
Zi = A1+ Iy5Bi. (В. 32)
Чтобы скомпенсировать этот член, к действию нужно добавить выражение, пропорциональное %тА^ы [18] (так как скобка [61,62] на Аи(х) приводит к калибровочному преобразованию с параметром ~ (l/x^e*7 (е^е{))> причем коэффициент пропорциональности определяется только алгеброй. Полное не-
11. Расширенная суперсимметрия 229
линейное взаимодействие О (2)-супергравитации с этим мультиплетом было найдено Захосом [19].
Рассмотрим диаграммы одночастичного обмена между частицами материального мультиплета. Вследствие обсуждаемого взаимодействия частицы обмениваются не только гравитоном, приводящим в статическом пределе к притягивательной ньютоновской силе K2Tn2Zr2, но также и.безмассовой векторной частицей, приводящей, подобно фотону, к кулоновской силе Є\e^fr2. В данном случае et ~ ±кт, так что вклады векторного и тензорного обменов между одинаковыми зарядами взаимно уничтожаются, а между противоположными складываются. Это первая модель, в которой антигравитационные эффекты возникают из чисто алгебраических соображений. Чтобы судить о том, может ли антигравитация быть обнаружена экспериментально или она лежит пока в области научной фантастики, необходимо рассмотреть более реалистические модели с учетом эффекта Хиггса.
Взаимное уничтожение вкладов от обменов частицами разных спинов — явление, не новое в теории поля. Так, например, в некоторых моделях сила, с которой взаимодействуют магнитные монополи с одинаковыми зарядами, равна нулю на больших расстояниях [45], в то же время между монополями с противоположными зарядами действует притягивательная ньютоновская сила. В этой же модели электрическое отталкивание между заряженными векторными частицами одного знака сокращается со вкладом от обмена безмассовый скаляром, а притяжение противоположных зарядов удваивается [22]. Таким образом, не вызывает большого удивления возникновение такого эффекта в О (2)-супергравитации, в которой безмассовая векторная частица и гравитон входят в один мультиплет;
