Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
В общем случае преобразования, расширяющие O(N) до U(M), включают преобразования дуальности и могут рассматриваться только при условии, что выполнены векторные уравнения движения. Одним исключением является О (2)-теория, в которой 0(2) расширяется до SU (2) без использования преобразований дуальности. Другим исключением является так называемая St/(4)-теория [8], содержащая поля ViIa, IlJtl1' (г = 1, ... ..., 4), А^а\ ZJtlW (я = 1, 2, 3), ф, В, в которой 5U(4)-инвариантность реализуется без преобразований дуальности. Выпишем несколько первых членов действия этой теории [8]:
&=--WV-X№-{ ^liv VysY1^v (A) V --jV (AtivwAtivw + BtlvwBlivfnO exp (- 2 нф) -
- ± VkB (AtivwAtlvw + BtivwBtlvw) +
+ liVxYV +
+ j Vgllv [дцФд^Ф + ехр (4%ф) д^В ¦ dvB] + ..., (В.45)
где
Atlv^ = atlAv(") - SvAllWf Btlv^ = StlBvW - SvBtlW. (В.46)
На первый взгляд 0(4)- и S t/(4)-теории существенно различны. О (4)-теория обладает явной О (4)-инвариантностью, неполиномиальна по полям А и В, область значений которых ограничена неравенством х2(А2 + В2) ^ I. 5U(A)-теория обладает явной SU(4)-инвариантностью, неполиномиальна по ф и полиномиальна по В; область значений ф и В не ограничена. В действительности можно показать, что эти теории эквивалентны на классическом уровне в том смысле, что с помощью комбинаций дуальных и киральных преобразований, переопределений ска-
11. Расширенная суперсимметрия 233
лярных полей уравнения движения обеих теорий могут быть сведены друг к другу. Однако вследствие возможных аномалий не совсем ясно, эквивалентны ли они на квантовом уровне; кроме того, преобразования дуальности для вектор-потенциалов нелокальны.
Аналогичные (и более сложные) преобразования встречаются при нахождении соответствия между О (8) -теорией и размерной редукцией D = 11-супергравитации, также имеющей 8 спинорных зарядов с явной О (7) -инвариантностью [49],.
Удивительный факт, плохо понимаемый до сих пор, состоит в том, что в случае N = 4 U(4) -инвариантность может быть расширена до 5(7(4)X5(7(1, I). В 5U(4)-теории имеется скрытая (7(1)-инвариантность, перепутывающая сложным образом поля ф и В: кроме того, имеются два простых преобразования, которые вместе с (7(1) генерируют группу 5(7(1, 1). Это
а) сдвиг В (х) -> В (х) + P (Р — константа), (В.47)
б) масштабное преобразование В(х)-+а2В(х) (а —константа),
Ve). Incu (В. 48)
В О (4)-теории эти преобразования легко видны на примере кинетического члена скалярных полей
g = — Az.' (В 49)
* 2х* (I -ZZ)2' 1 yj
где Z = к (A + iB)\ j? инвариантен относительно преобразований
z^z' = TITJ' Ifl2I-Ic2I=1- (в-5°)
Остается неясным, как обобщить эту инвариантность на случай высших расширенных супергравитаций, OcoeeHHoO(S)-TeopHHl).
д. Расширенные супергравитации е локальной группой
До сих пор мы рассматривали расширенные супергравитации, которые имели лишь одну константу связи к и N(N—1)/2 абелевых векторных полей AlJi. Поскольку их число совпадает с числом калибровочных полей группы O(N), можно попробо* вать заменить Ftiv^ на янг-миллсовский тензор напряженностей, вводя при этом новую константу связи g нулевой размерности [10,36].
') Cm. работу Креммера и Жулна [49]. — Прим. перед.
234 Дж. Шерк
Например, в О (2)-теории группу 0(2) можно локализовать, заменяя Dv(Co)IlJpi на ?>v(«»)^p‘— ge‘lAv\|у. Здесь вектор-потенциал Av входит в действие явно, так что глобальная U(N)-HH-вариантность нарушается до O(N), которая, однако, становится локальной. При этом необходимо добавить к лагранжиану следующие члены:
состоящие из массового члена для спина 3/2 и космологической постоянной. Знак космологической постоянной фиксирован, он соответствует 0(3, 2)-вселенной де Ситтера. Аналогичная про* цедура для 0(3)-супергравитации приводит к красивому объединению теории Эйнштейна и Янга—Миллса. Однако при Этом возникает проблема радиуса вселенной, который очень мал, если только g2 не меньше IO-20! Можно надеяться на сокращение этой космологической постоянной при добавлении материальных полей (это действительно происходит при эффекте Хиггса в случае N= 1 [42]), но трудность состоит, в том, что расширенные супергравитации, взаимодействующие с материальными расширенными мультиплетами, по-видимому, неперенор-мируемы даже на. однопетлевом уровне.
В JV = 4-теориях возникают другие проблемы. 0(4)- и SU(4) -теории становятся неэквивалентными при локализации группы SU(2)X,SU(2), приводящей к космологическим постоянным, зависящим от полей [36]:
Оба потенциала (—X) не ограничены снизу и не допускают спонтанного нарушения симметрии, а второй даже не имеет локального экстремума. Аналогичные трудности ожидаются при локализации в О (8)-теории. Сама О (8)-супергравитация, по-видимому, не может быть реалистичной теорией, поскольку она слишком узка, чтобы содержать 5(7(3)с XSU(2)~X U(I) в качестве подгруппы калибровочной группы. Она содержит лишь S?/(3)CX t/(I)X U(I) [46]. Отсюда делается предсказание, что 8 глюонов, фотон и Z0 элементарны, a W+ и W- должны возникать как солитонные возбуждения. Кроме того, теория содержит кварки пяти ароматов, октет нейтральных тяжелых лепто-нов, электрон и его нейтрино, а мюон, т-лептон и их нейтрино отсутствуют.
