Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
t
в. Уравнения движения фермионов
Уравнения движения фермионов в простой и расширенных супергравитациях имеют простой вид, если их записывать с помощью суперковариантных объектов. Поскольку эти уравнения содержат лишь одну производную, их вариация не может включать член вида дв, поскольку коэффициент при последнем, не имеющий производных, не может быть пропорционален уравнениям движения. По этой причине фермионные уравнения всегда можно записать с помощью чисто суперковариантных объектов. Например, в суперсимметричной теории Максвелла — Эйнштейна, описывающей взаимодействие мультиплетов (2, 3/2) и (1, 1/2), или в 0(3)-супергравитации уравнение движения для спина 1 /2 имеет вид ^ DvX = 0, где D11 — суперковариантная производная, действующая на %. Ее можно найти, зная вариацию 6%.
230 Дж. Шерк
Аналогично для полей со спином 3/2 по вариации бф/
можно- определить суперковариантный тензор напряженностей [7], преобразующийся без дг.
В простой супергравитации (N = I) = (1 />с)ZJli(о5)є и
объект ^vp = -Dv р — -Dp (и) Tpv суперковариантен. В случае
N = 2 бфр1' = (1/х) ZV7Ey, где
?>ріу = 6% (6)- -f E1VvYpFtiv. (В.33)
Суперковариантный тензор напряженностей я|\р‘ имеет вид
^рг = ZV7V -?>p‘W. (В.34)
С помощью этого тензора уравнения движения для спина 3/2 можно привести к весьма простому виду
^Y5YtlV = ° (^=1,2). (В.35)
Суперковариантные тензоры напряженностей можно построить также для N = 3, 4. Тот факт, что фермионные уравнения движения можао записать в суперковариантном виде, полезен для нахождения инвариантных действий этих теорий. Зная в низших приближениях нетеровскую связь, возникающую в уравнениях движения фермионов и в законах преобразований полей, ее суперковариантизуют, а затем находят действие, из которого она следует. Эта процедура была очень полезна для построения 0(4)- и SU(4) -моделей.
г. (/(^-инвариантность в расширенных супергравитациях
Согласно теореме Хаага — Лопушанского — Сониуса [35], глобальной группой инвариантности суперсимметричной теории с N спинорными зарядами и безмассовымн частицами должна быть U(N), исключая случай N = 4, в котором ей может быть либо U(4), либо St/(4). Примером последнего варианта является N = 4-суперСимметричная теория Янга — Миллса, инвариантная относительно SU(4) (0(6)), но не относительно U(A).
С другой стороны, расширенные супергравитации строятся явно 0(Л^)-инвариантным способом, так что должен существовать способ расширения глобальной О (N) -инвариантности до U(N) [6,18].
Простая супергравитация действительно оказывается инвариантной относительно глобальных U(I) киральных преобразований:
SyFj10 = 0, бу'Фц, /Ауб'Фц, (В.36)
где Л — инфннитезимальная постоянная; N = 2-супергравитация обладает явной О (2)-инвариантностью, которая легко мо-
11. Расширенная суперсимметрия 231
жет быть расширена киральными преобразованиями до SU(2):
где Cii = -^-Qi, AiI = Aii, TrA = O. Чтобы расширить SU (2) до (7(2), необходимо добавочное U(1)-преобразование
Оно оставляет инвариантным кинетический член поля ф, но, как видно из (В.22), для инвариантности нетеровской связи одновременно необходимо преобразование дуальности для F1Iv:
Однако преобразования дуальности требуют осторожного обращения. Рассмотрим, например, свободное максвелловское поле. Полагая SFltV AFiiv и предполагая, что существует соответствующее преобразование для вектор-потенциала, получаем, что AFliv = ^tlGAv — (JvSA11 является ротором и, следовательно,
(Jll(AFtiv) = -AdiiF^ = 0, т. е. поле A11 должно удовлетворять уравнениям движения.
Таким образом, преобразования дуальности оставляют ин* вариантным не действие, но только уравнения движения.
В расширенной О (2)-супергравитации потенциал A11 в явном Виде це появляется, и векторное уравнение движения имеет вид
Это условие означает, что Ftlv представим в виде ротора. Преобразование
очевидно, совместно с (В.41), а небольшие вычисления показывают, что вариация уравнения движения (В.40) пропорциональна (В.41).
Все остальные уравнения движения действительно U (2) -инвариантны. Этот факт обобщается на все известные расширенные О (N) -супергравитации, в которых глобальная {У(Л/)-инвариантность реализуется с помощью киральных и дуальных преобразований. Эта инвариантность интенсивно использовалась при построении О (4)-теории, а также в пертурбативном подходе к О (8) -супергравитации.
6 V * 0, 6V «(Cii + Iy5Aii) V.
SA11 = O,
(В.37)
Sy1F110 = 0, St7l^11' = — j Iy5A^il1. (В.38)
(В.39)
(В,40)
D11Ftlv = 0.
(В.41)
Sy1Ftlv = AGtlv,
(В.42)
232 Дж. Шерк
Преобразование дуальности суперковарианта Zjtiv имеет весьма простой вид
St7lFtlv = AFtiv. (В. 43)
Действие О (2)-супергравитации приобретает более сжатый вид, если оно записано через Gliv (тензор, определяющий векторное уравнение движения) и Ftiv, причем так, что все члены четвертого порядка включены либо в «в, либо в P:
S = - lfer VR (Й) - 4 S^VY5Y11A, (A) V -- -і FFtivGtiv - |хУе%г (Ftiv - /Y5FtlvW- (В.44)
