Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
Ф[Хз+і-\-^і\ = ф[х3+1]. (Б. 2)
Теперь мы можем разложить ф в ряд Фурье:
I / N х п \
Ф (Xli, *з+;) = 77---Y Ф{пі} ^ exP I 2лі Y ^f1 I * (Б,3)
(L1 '"lN) {п?} V I i J
где коэффициенты <?{пг}(*ц) суть поля, зависящие только от первых четырех координат и удовлетворяющие условию вещественности -я,.} = Ф{п{)- Интегрируя в (Б.1) по дополнительным координатам х$+{ от 0 до Li, мы приходим к следующему результату:
S = Srf4* {її -T ~
- Ж ф{п\}ф№ф{п*}ф{п1} П 6 ("! + "? + "?'+ ";)}. (Б-4)
где
A
L1 ... Ln
И
ma{„rf = їх о2 + 4я2У-^. (Б.5)
I Li
Таким образом, эта теория в частично компактифицированном пространстве-времени содержит бесконечную последовательность частиц с возрастающими массами. В теории имеется N сохраняющихся абелевых зарядов, принимающих целочисленные значения; масса частиц как функция этих значений дается формулой (Б.5). В случае N = 2, (,Io = O такая формула была получена для частиц и солитонов суперсимметричной калибровочной теории [21—24]. Это наводит на мысль, что электрический и магнитный заряды можно рассматривать как квантованные пятую и шестую компоненты импульса в полной аналогии с исходной идеей Калузы и Клейна [25] для электрического заряда.
Размерная редукция состоит в устремлении Li к нулю при фиксированном I1. При этом только одно поле ф{а} = ф
206 Дж. Шерк
сохраняет конечную массу, так что мы получаем обычную Я^>4-теорию в четырех измерениях:
S -H- Ss = \ d*x {1 д^ф&ф L _ A ф*}. (Б>6)
В данном случае редуцированная теория не сохраняет никаких следов своего происхождения. Фактически ее можно было бы получить, прямо полагая, что поле ф [лг^, Ar3+,-] не зависит от дополнительных координат, т. е.
дц+іФ = 0.
Менее тривиальный пример получится, если начать с действия для максвелловского поля в 4 + N измерениях:
S = -\\d*+NxFapF«fi, (Б.7)
где
Fa^ = даА р (Б.8)
Перешагивая через промежуточный этап компактификации, мы сразу положим, что поле Aa не зависит от я3+*', и опустим интегрирование по х3+!. Ho теперь поле Aa расщепляется на вектор Лц и N скаляров: Aa = (A11, фи ..., фы). Действие редуцированной теории имеет вид
N
sR = - і ) rf4jcVliv + Y ) d*x E (Б-9)
I
В этом примере результирующая теория «помнит» сигнатуру (4 + N)-мерной метрики: если бы какие-то из дополнительных измерений были времениподобными, то кинетические члены соответствующих фі имели бы неправильный знак. Пуанкаре-инва-риантность исходной теории в 4 + N измерениях нарушилась до инвариантности относительно произведения группы Пуанкаре в 4 измерениях и O(N), причем Ali является синглетом O(N), а ф{ образуют векторное представление O(N). Группа O(N) является инвариантностью редуцированной теории; компактифицированная теория инвариантна лишь относительно U(l)N. Группа O(N) возникает в пределе Lt^- 0, в котором остаются только поля, не зависящие от хг+і, обеспечивая тем самым инвариантность относительно вращений в N дополнительных измерениях.
Отметим, что, хотя как вектор, так и скаляры безмассовы, в теории отсутствуют преобразования, перепутывающие эти поля, поэтому (Б.9) нельзя рассматривать как единую теорию векторного и скалярных полей. Кроме того, это противоречило бы теореме Коулмена — Мандулы [26].
It. Расширенная суперсимметрия 207
Действительно, нетривиальные примеры размерной редукции возникают в тех случаях, когда исходное действие инвариантно относительно простой суперсимметрии1) В (4 + N) -мерном пространстве-времени:
(Qft, Qo} = 2(r%/V (Б. 10)
Здесь лоренцев индекс V пробегает значения от 0 до 3 + N)
а, р — индексы дираковских матриц, удовлетворяющих (4 + N) -мерной алгебре Клиффорда:
{Гл, Г*}=2л^. (Б. 11)
Неприводимое представление этой алгебры состоит из матриц размерности 2[°/21, существенно зависящей от размерности D = 4 + N исходного пространства-времени (скобками обозначена целая часть D/2).
В большинстве теорий размерная редукция приводит к исчезновению Рг+і в пределе Li-*-0; было бы интересно найти
примеры, в которых некоторые из P3+,- не исчезают и стано-
вятся центральными зарядами2). Для простоты мы будем полагать далее, что Р3+г- равны нулю.
Представление клиффордовой алгебры всегда можно построить в виде тензорного произведения дираковских матриц 4X4 (Vli1V5 или 1) и 2^/21 X 2^/21-матриц «внутренней симметрии» так, что для ц = 0, 1, 2, 3
Г^ = Ym О 1. (Б.12)
Дираковский индекс а становится парой из обычного дира-ковского индекса а и индекса внутренней симметрии і. После размерной редукции мы получаем из (Б.10) алгебру расширенной суперсимметрии:
{Qai, Qp/}-2 (Vv)a^Pv. (Б.13)
Результирующая редуцированная теория инвариантна относительно группы O(N) и M суперсимметрий, где M равно 2^2! с точностью до множителя 1/2 (в зависимости от того, какие условия были наложены на Qft в исходном пространстве-вре-менй). Число M обычно определяют как число майорановских спиноров Qai (г = 1, •••. М) в 4 измерениях, поэтому для нахождения ранга расширенной суперсимметрии M следует подробно обсудить задачу определения майорановских и вейлев-
