Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
<В^Е(р)ВР>0,
проинтегрированные по р°, являются функциями в (р) и к ним применима
оценка, использованная в [21]. Отсюда и ограниченность |[ф(011-
Чтобы не усложнять комбинаторику, рассмотрим случай одного лишь [m, s] с
?*Qe]§[m, а]. Пусть
E[m, s] - проектор на 1) [m, s] и
Ф$)=Е[пг, s]B*(f)Q. (5.40)
Выполним всевозможные свертки k всех операторов Bj(t) с любым Bh(t)*,
стоящим справа от Bj, или с Bi(t)*, стоящим слева, в результате получим
<BjB*k>0
3 Зак. 954 gg
и <B*,Bj>0 соответственно и умножим произведение
А А
этих множителей на 0>ex(fftl,..., fhk),. где несвернутыми
^ А А
5,(0* остаются только fh,. Пусть ..,/*.).
k R
Тогда можно показать, как и в предыдущем случае, для
т
всех П B*(gj, t)Q, что /'=*
= [Ф"(ft, • • (5.41)
Соотношение (5.37) можно доказать неравенством треугольника. Пусть
фехе()ех произвольно; выберем последовательность состояний Ф vх eDex с
Ф(r)х->-Фех и последовательность Xaara-^Рюэля Ф* (<)->-ф(r)х для t^-tex.
Тогда
I (Ф", * (о) - (Фех, чо | <| (Фех, * (0) - (ф:х, * (о) I+
+1 (ФГ. 1> (0) - (Ф, (0,* (0) I +1 (Ф, (0. 1> (0)-
- (ф^х, Фех) | + I (ф(r)х, Фех) - (Фех, Фех) | . (5.42)
При t^~tex все члены можно сделать меньше любого е5>0 прежде всего
выбором соответствующего v(e) и мажорированием первого и четвертого
членов равномерно по t, использовав равномерную ограниченность ||ф(011;
затем выбором t(e, v), такого, чтобы второй и третий члены были как
угодно малы для фиксированных v>v(e) и v), что и требовалось дока-
зать.
Результаты этой главы снова иллюстрируют нетривиальный характер аксиом
Вайтмана. Существование одночастичных состояний, образованных полиномами
в (почти) локальных полях, влечет за собой существование пространств Фока
многочастичных состояний рассеяния, на которых U (а, А) действует, как в
теории свободных полей.
66
ГЛАВА 6. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ УСЛОВИЕ ЛСЦ
В ^той главе мы постараемся достичь некоторой свободы в обращении со
взаимодействующими и асимптотическими полями.
В нерелятивистской теории рассеяния мы доказали асимптотическое условие
сильной сходимости для операторов
Bad, 0Г>
на плотной области 1). Руководствуясь опытом
из области перенормируемой теории возмущений, Леман, Симанзик и
Циммерманн [73, 72J основали свой подход к теории поля на асимптотическом
условии слабой сходимости для полевых операторов к асимптотическим
свободным полям *. Получим их постулаты из теории столкновений Хаага-
Рюэля.
После подробного рассмотрения наиболее общего случая одночастичных
состояний с произвольным спином образованных из Q с помощью произвольного
возвратимся к модели скалярной теории поля одного сорта скалярных частиц.
Предположим, что А(х) рождает из Q одночастичные состояния с массой т и
что массовый континуум начинается в 2 т. Ковариантные одночастичные
операторы рождения даются формулой
Л(/, 0* = " J dpj(p) А (-р) еИр0"ш)', (6.1)
где ?6 <^(G) = {f (Я4) •' supp/<=G} и G = (р° > 0, 0 < (р, р) < 4т2}.
Имеем
Л(М)*а=Ф(7), A(f,t)Q = 0, (6.2)
где /(р)=/(ю, р) и нормировка такова, что
(ФЙ. ф(?)) = J* f(Р)* g (Р).
* Другой подход, основанный на использовании функциональных производных
S-матрнцы, был предложен и развит Боголюбовыми. Н. (см. [18]). - Прим.
ред.
3* 67
Согласно теореме Хаага -Рюэля, для {/{}c:<^(G)
п A (/;, /)* Q +Фех (?1( . . ., и при t -+ Г. (6.3) <=1
Если ficz of (Я4) ие удовлетворяет никаким ограничениям на носители, то
по-прежнему имеется слабая сходимость в f)ex, например, в простейшем
случае
(ч>", П AVh о*а)-+01>е\Фех(?1, . . .,/")),
(*ех, П a (/,-, t) П A (gj, t)* q)
(/71 \
Г, П ясх(//)Фех(gu . . gj) (6.4)
ДЛЯ
(7<}cW), Qj}<ztf(G) и f^r-
В теореме 5.1 мы пользовались довольно грубыми оценками для получения
поведения у предела (6.3) типа 0(И-'/.). Для большого класса состояний
рассеяния, в которых асимптотические частицы двигаются по расходимым
орбитам, оценки Рюэля могут быть улучшены вплоть до 0(|/|-°°) (т. е.
0(|/|_1V) для произвольного jV^O). Характерной особенностью общей
квантовой теории поля является то, что эту ситуацию - наряду с менее
тривиальными проблемами - можно, по существу, рассматривать с помощью
геометрического подхода.
Функции из множества {fi}c=(^,(G) называются ие-перекрывающимися, если
носители {fj попарно разъединены в пространстве скоростей, т. е. если для
всех Pi"=suppf;:
Pi(r)Tl при "=?/. (6.5)
Аналогично функции из {fi}c=<^ (R3) называются иепе-рекрывающимися, если
(6.5) имеет место для всех
pfesupp/;. Как хорошо известно из пространственно-временных оценок
решений уравнения Клейиа - Гордо*
68
на [21], движение волнового пакета в х-пространстве характеризуется
скоростями, а не импульсами.
Теорема 6.1. Для неперекрывающегося множества (G)
d f[A(fi, tp Q
dt
г=l
6^(0.
(6.6)
Доказательство. Для улучшения результатов теоремы 5.1 будем изучать
усеченное вакуумное среднее полевых операторов с k^3
< П A(fi, о(,)>г,
v=l
получаемое из (6.6). В таком члене либо первых два, либо последних два
неперекрывающиеся. Рассмотрим, например, случай с t), A(fit, t),
