Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
НшВФ(ф, t) = ВФех (ф).
t-*± 00
(6.19)
Пусть ?>ох - линейная оболочка всех Фех(ф) с непе-рекрывающимися
полностью симметричными ф(рь ,..
72
Рл)?=<^ (R3n), я=1, 2, вместе с ?2. Do* плотно в $ex, так как состояния
ф(рь..., рп) плотны в ^-пространстве всех полностью симметричных "р, а
jП dp, 0(Р°) в(Р? - т*) | Ф (Pi> . • ., р") |2 <оо.
Все одночастичные состояния с fe&(R3) принадле-
Dex
О .
На ?>ох замыкания В тоже являются операторными функциями умеренного
роста, как и исходные В на D. По определению замыкания для Вi, В2е$ имеем
В,В2Ф (ф, f) -> ад Фе* (ф) = Ж (ВаФез[ (ф)). (6.20)
Поэтому В можно свободно умножать на ?>о* и [Bi, B2]Dox==0, если основные
функции в Вь В2е $ имеют пространственноподобные носители. Далее,
U (a, A)BU(a, A)~1D%X= U{a, A) BU (а, Л)"1 D%*.
Пусть В (ф) = J dxu . . dxn^(xlt . . хп) X X А (Хг), А (хп) для ф ? $
(Rin). Отображение Ф ->
->В(ф)Фех, Фех ?1>ох линейно. Предположим, что последовательность {Ф"}
сходится в У (Д*п). Тогда для любого
Фои'(ф)€?>о"
II Щф:)фо,,*й)||<||в(ф,)Ф(ф, оИ +
+ Jds
t
Квадрат подынтегрального выражения можно мажорировать с помощью (6.18)
конечной суммой членов
2а. з, V, s C^s sup | ^ Е^х Фч | sup | yyDy ф.. |, (6.22)
* и
где C$vs <оо для всех Л^О. Поэтому условие ф* -"-0 в $ (R4) влечет за
собой ||В(фь )Фех(ф)||->-0. Эти свой*
73
ds
В(^)ф(ф. S)
(6.21)
ства Do* оправдывают принятое обозначение ВФех для В, действующего на
ФехеДох-
Мы подвели основу для вывода асимптотического условия ЛСЦ [79, 74] в
виде, пригодном для многих приложений квантовой теории поля.
Теорема 6.2. Пусть Фехе?>ох и {/,}<= "^(G). Тогда
Jim П А (/.-, 0* Фех = П оех (ft)(t) Фея
.ft Y . . ^ .
(6.23)
в сильной сходимости в f). Для произвольного 0Дс#'(/?4) имеем слабую
сходимость в f)ex, например,
(т \ / т \
П A(gj, 0*Фехj = ^ех. n^te/Ф-).
(т п
<Г, П A(gf, t) П A (ft, *)*Фе
/=i t=i
I т
= Uex, п 0е V /=1
(g /) П оех (fi)* Ф(
1=1
')•
(6.24)
где {7t)C^(G), ^ех6Г. Фех€?>ох.
Доказательство. Все выражения полностью опреде-
А
леиы. Будем аппроксимировать, например, Фои4(<р) функцией Ф(ф, 0,
используя
nA(fh 0(*)Ф"*(Ф) - П Ш 0(,)Ф(Ф. О
i=i
< (6.25)
1
< I ds
i=1
Подынтегральное выражение ограничено функцией <?к(1 + |s|)-K(l+ |/|) с L
фиксированным и dK<o° для всех /(&Z+. Тогда из сильной и слабой формы
сходимости теоремы Хаага - Рюэля следует (6.23) и (6.24). Обобщение на
случай произвольных спинов и связанных состояний тривиально.
Теоремы 5.1, 5.4 и 6.2 синтезируют различные подходы Хаага и Лемана -
Симанзика - Циммермйнна к асимптотическому условию. Грубо говоря, имеем
сильную сходимость для полей, сглаженных основными
74
функциями без носителя в континууме и слабую сходимость - в остальных
случаях. Следует отметить некоторые технические особенности: а) поля
следует интегрировать по четырехмерным основным функциям [79]; б) для
fy=fyex слабую сходимость получаем только на 1)ех; в) асимптотическое
условие ЛСЦ было дока-
Dex О •
Остается открытым вопрос о том, на какой максимальной области имеет место
асимптотическое условие ЛСЦ. Руководствуясь опытом из теории свободных
полей и локальных колец [32], сделаем обычное предположение о том, что
поля ограничены на любом подпространстве с ограниченной энергией н
удовлетворяют на них асимптотическому условию.
ГЛАВА 1. РЕДУКЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ
Амплитуды рассеяния однозначно задаются некоторыми пределами функций
Вайтмана, существование которых обеспечивается теоремой 5.1:
(ф°ич?1 и, фlnQu.. .,*.)) =
= lim ат+п J П dPifiiPi)* е"'П dqIg/(qf) X
¦-*+" J (=i /=1 1 ]
S~>-ОО '
Xe(4rai)tmmi.n(Pi -О- (7-1)
Из (7.1) не очевидно, что правая часть является обобщенной функцией
умеренного роста "а массовой поверхности, и трудно проанализировать
следствия, локальности и спектрального условия рассматриваемой теории
поля, ведущие к аналитическим свойствам амплитуд рассеяния.
С помощью простых выкладок ЛСЦ получили в изящном виде связь между
амплитудами рассеяния и некоторыми граничными значениями обобщенных
запаздывающих функций [73, 72]. Простейшим примером так называемых
редукционных формул являются уравнения Янга - Фельдмана [80], которые
часто рассматриваются как альтернативная формулировка асимптотического
условия.
75
Теорема 7. 1. Для фех ? ?>ох и /(*)=(? + т2) А (х) свертка
ret to
\dy^{x-y)j{y)rat существует в виде векторной обобщенной функции
умеренного роста, и мы имеем
in in In , fet In
A (x) rat = Aout (x) rat + I dyAT (x - y) j (у) f>"t. (7.2)
Предполагаем, что в (6.1) а=(2я)-,/2, и по определению
Лех (ф) = \г2п (аех (фх)* + аех (фг)} для ф ? & (R*)
А ^ Л. ^
и ф!(р) = ф(ю, р), ф2(р) = ф(-(О, -р) [см. (2.14)].
Доказательство. Выберем а^0м(Д4), 1< i< 3 с
i "j(p)=1и
i=i
supp "X с {| (р, р) - Ш21 < /пг, р° > oj, supp^cjKP, p) - m2\<±-т\ p°<oJ,
supp as П {l (P> p) - я*21 < ~ = Ф- <7.3)
Расщепление f (p)->-fi(p) -cii(p)f (p) непрерывно в S'iR4)- Для всех
tl)toe?>on рассмотрим выражение 2яЛ (fu s)* ф'1п, из которого имеем A
(f\) ф1п для s=0 и ^'"(/Оф111 - для s->--сю. С°°-функция Fi{s) = =
