Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
упражнение.
Упражнение 3. Проверить результаты данной главы для случая свободных
полей массы т в четырехмерном пространстве.
Наконец, отметим, что следствие 4.3, которое мы используем для вывода
асимптотического условия, остается в силе (при использовании метода Рюэля
[21], [32], если аксиому локальной коммутативности заменить "почти
локальностью" в более слабой форме:
Аксиома IV'. Для всех я=1,... и
<А(*о), . . ., [А(*,_,)А(**)]_, . . ., Л(хл)>0 =
= 1, • • У (4.50)
в любой..зафиксированной области {|i?|<6|ii|}" 0<8<1 для всех LeZ+
удовлетворяет
т = s' a, z. п (1 + III) !Г)К (1 + 111" IITL х
я=1 j- i
Х^а,t(ii, . . ., ?") (4.51)
для некоторого К, не зависящего от L; S(L)<оо, Da, l- дифференциальный
одночлен по <5/<5?|, Ь=*1-Ъ-и а Та, L - ограниченная непрерывная функция.
Очевидно, что локальность заключает в себе также почти локальность.
ГЛАВА 5. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ УСЛОВИЕ ХААГА -РЮЭЛЯ
В этой главе рассматривается метод Хаага для вывода времяподобного
асимптотического условия для состояний рассеяния из известного
асимптотического поведения вакуумных средних в пространственноподобных
направлениях.
Сначала следует рассмотреть одночастичную задачу. В нерелятивистской
квантовой механике нормируемое решение не зависящего от времени уравнения
Шредин-
54
гера описывает все стабильные частицы теории или все неприводимые
проективные представления группы Галилея, индуцированные гамильтонианом
Н. В релятивистской квантовой теории поля все частицы фигурируют как
дискретные неприводимые представления [т, s] группы iSL(2, С),
возникающие в приводимых представлениях U(а, Л), по отношению к которым
поля являются тензорными операторами. Частицы характеризуются [6] массой
т^О и спином s=0, V2, 1,- Не конкретизируя даже динамику, нам следует
предположить здесь, что по крайней мере одно состояние в каждом [т, s]
может быть образовано из вакуума Q с помощью полинома по сглаженным
полям.
Укажем на возможное упрощение в описании частиц со сложным спектром, так
как лишь небольшое число полей (например, поля, несущие сохраняющиеся
заряды или поля, связанные с ними [68]) может стать субструктурой
наблюдаемой зоологии частиц.
Есть случаи, когда одночастичная задача может быть решена чисто
кинематически. Согласно аксиоме V, любое одночастичное состояние Фе^|[т,
s] можно аппроксимировать состояниями из D = ? 2. Если ? рождает
состояние
Ф+Ф, (5.1)
где Фе 1) [т, s] и ф обладает спектром масс без носителя в пространстве
т, то
В* = J dxU (х, 1) B*U {х, I)"1 h (х) 6 ? (5.2)
удовлетворяет ?*Й=Ф и ?й=0, если йевлг(/?4) с %(]/т2+р2, р) = 1
обращается в нуль вне малой окрестности {(р, р)=т2, /?о>0). В частности,
если двухточечная функция ковариантного поля <Л**(х) л?(у)>0 в ^-
пространстве имеет член типа б((р, р) - -m2)Q(p°) (р/т)ар, отдельный or
континуума, то одночастичные операторы рождения и уничтожения могут быть
построены соответствующим сужением основных функций.
Хотя сильная сходимость в теореме 5.1 имеет место для всех таких, что
(Р, P)Bi Q = /n? fi, mOO
(и без ограничения ?гй=0), с физической точки зрения более
последовательно работать с помощью одночастичных операторов рождения и
уничтожения, преобразую-
55
щихся ковариантным образом по U(a, Л). Из нерелятивистской задачи
связанных состояний (3.17) видно, каким образом строить эти операторы из
состояния покоя.
Представление U(а, А), сведенное к J)[m, s], изоморфно обычному
представлению в спиральном, базисе (см. Упражнение 1). Из изоморфизма /,¦
получим
р, а>, (5.3)
где
<Р, Р I q, а> = 2о)р6 (р - q) (p/m)aft и Ur{a, Л) | р, а> = expi(Ар,
a)Dsa?(Л-1) | Лр, Р>.
л
Волновую функцию Ь = {Ьа (р) } CZof (R3) можно вычислить из <BU(a, Л)В*>о
(однозначно с точностью до фиксированной фазы для §[m, s]).
$[т, s] содержит вместе с В*й также все В/й= = Jdxf(x)U(x, 1)В*Й для
f&2?(R4). Выбирая соответствующие линейные комбинации U(a, Л)В/Й, можно
найти (2 s+1) -операторов 'BpG^ с /ВзП = 0, 'В\ Qe f) [т, s],
где соответствующие волновые функции №={Ь* (р)} удовлетворяют
^(р) = {0 для (5.4)
(1 для а = р и I р | < 1.
Выражения 'Вр (р)* = (2я)-2 J dxe~i(p'х) U (х, 1)' В,* U {х, I)-1
являются конечными суммами
% (Р)* =(2лГ32 2 Sjdft, • • dpnX х (а, . . ., pnh6 (р " 2 Pi) % X
X (-Pi), . . ., Akann (-/>"). (5.5)
Используя тот факт, что U(a, A)Ir=IrU(a, Л), легко показать, что основные
функции фп(вд(рь-, рп)? можно выбрать так, чтобы они были ковариантны
относительно
П
SU(2), ограничив носитель в 2 Pi
i=1
56
некоторым Р+, р>0, и усреднив по SU(2) в системе покоя Ърг, что не влияет
на выражение (5.4). Имеем
(А)(а)(Р"' • • '• Рл)р ~ 2 SA>v(*) X
v=-S (т)
ХфwviR-'Pi, • . •> (5.6)
Воспользовавшись ковариантными основными функциями [сравни (5.6) с
(3.6)], определим ковариантные операторные обобщенные функции
ЫР)* = 2 1 dpi, • • • . dPn%W(c)(Pi Pnh X
я(л) (а)
X " (р- ? Pi) (-ft), (-/>"), (5.7)
/ч
где С50-функция фл(А)(а) равняется
(^ (Р)) Ф"(*)(т) X
X (L-1 (p) pi, . . Т,-1 (р) p")v S(*)(ct) (L (p)-1) (5.8)
