Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
поведение Г(Хи ..., хп) вошло только вдали от "диагоналей" х?=х\.
Отметим, что если рассматривать асимптотические состояния в спинорном
базисе, то редукционная формула для частиц с произвольным спином всегда
приво-
83
дит к функциям Грина, "ампутированным" оператором Клейна - Гордона.
Предположим, что
АФ*= S АафГ
а=-s
рождает из Q одночастичное состояние Ф(/) с f(p)* = =/(со, р)а. Тогда
(<P0Ut(?. . • • , fm)> ф'П(/т+1 , . . . , fn)) =
. S S m ч_ л
= (-iV2n)n 2 ... S m dptftipfy'X
Pt=-S ""="* 1=1 1
X П dpjJjiPj)c n П [(Pi, Рд - т2] X
j=m+1 1=1 \/= 1
x<?#t an(Pi,. . . , - Pn)>oj (7.24)
с очевидным обобщением на (7.14) для операторов Ферми.
Для изучения важных с физической точки зрения реакций, когда две частицы
переходят в п-2-частицы (п^4), амплитуду рассеяния можно экстраполировать
опережающими обобщенными функциями. В изучении максимальной аналитичности
в локальной квантовой теории исходным пунктом является следующая формула,
полученная ГЛЦ [72].
Следствие 7.3. Для неперекрывающихся скоростей, в том же смысле, что и в
теореме 7.3, имеем
<А, ¦ • • , РТ I PtPT> = -H2nf2U бt{Pi)X
i=i
X [{PiPi) - m2]<At{-Pi, - Рг, Рз, • • . , pn)>j.
(7.25)
Доказать это следствие можно при помощи аргументов теоремы 7.2. К
счастью, свойства носителя в р-пространстве для реакций типа 2-+п-2
исключают те члены в разложении <А {х\\ х2, х")> по вакуумным
84
средним, для которых асимптотическое условие ЛСЦ не было доказано и
которые имеют структуру (<р, П4(/,, *,)'•> *10
с Ф и феТ).
При доказательстве теоремы 7.2 мы видели, что для неперекрывающихся
\^Sf(Gxn) функция
F(ti f") = jfi dp,e_i(P?_",)<lX
/=1
Хф(А, .... Ря)<Тг(Рч • • • . - Рп)>о (7-26) быстро сходится, если группа
элементов t\, ..., tn стремится к k±oo. Это асимптотическое поведение для
больших | ti| эквивалентным образом может быть выражено с помощью
следующей структуры сингулярности выражения <Тг{ри . •-рп)>о вблизи
энергетической оболочки: с точностью до сингулярностей типа
1
в любом подмножестве переменных р"-оь ..р°- с соответствующими
состояниями рассеяния в качестве остатков (остатки по всем переменным
одновременно см. в формуле (7.23)); вакуумное среднее
Pi" • • • > Рп) /"<>! проинтегрированное по неперекрывающимся основным
функциям в Pi,..., р", принадлежит классу С00 в окрестности начала
координат. Этот результат был предвосхищен Гринбергом и Вайтманом [79],
которые получили асимптотическое условие ЛСЦ из аналогичных предположений
о структуре сингулярностей вакуумных средних Ш(р, -Рп)! вблизи р?-о){.
Так как F(ti, ..., tn) ведет себя как 0(|?|-°°), если любое U-*-оо, то мы
можем вычислить F(0, ..., 0) с помощью равномерно сходящегося интеграла
аналогично (7.5): о о
f<0......0>=! гг.at.
X
п
X F (tly . . . , tn) = lim f П dPi ((Pi, Pi) -
eii° i=i
- m? + iej) 1 ф (p) X (7.27)
85
X |^П {{Pi, ptl - nt) <Тг(ри . . . , - p")>0j-
Так как вдали от массовой поверхности не существует проблемы разделения,
то в качестве тождества для обобщенных функций получим хорошо известную
формулу [81]
,-i
<Тх(ри . . . , р")>о = Нш П [{Pi, Pi) - m2 + ie*] X
si.Enl°< = !
X
П {{Pi, Pi) - m2)<7;x(p1, . . . , />")>"] ,
<=i 1
которая имеет место вблизи массовой оболочки, по крайней мере, для
неперекрывающихся р\, ..., рп с еДО.
В заключение отметим, что не следует ожидать того, что сильная форма
редукционных формул в теореме 7.3 и в ее следствии имеет место для
перекрывающихся импульсов, за исключением того случая, если мы сможем,
например, доказать аналитичность "ампутированных" функций Грина вблизи
массовой поверхности, как для двухчастичной амплитуды рассеяния. Для
импульсов входящих и уходящих частиц, неперекрывающихся по отдельности,
формула (7.23) остается в силе в смысле повторного сужения к массовой
поверхности независимо от порядка стремления к пределу. Пример этого
утверждения приведен в гл. 9.
ГЛАВА 8. СВОЙСТВА АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ФАКТОРИЗАЦИИ 5-МАТРИЦЫ
В этой главе рассматриваются общие свойства S-матрицы в квантовой теории
поля. С самого начала существования теории S-матрицы [82] было ясно, что
наряду с такими глобальными свойствами, как унитарность, правильная
мультипликативность частиц и инвариантность по отношению к группе
симметрии, реальная
S-матрица должна допускать макроскопическое описание процессов в
пространстве - времени с помощью асимптотических свойств амплитуд
рассеяния. Недавно Вихман и Кричтон [83, 84] систематически изучили эти
свойства асимптотической факторизации. Ввиду того
86
что в квантовой теории поля S-матрица является величиной, следующей из
теории, можно получить полезную информацию относительно того, когда и как
быстро можно достичь эти асимптотические пределы.
Структура аакуума
Вакуумная структура S-матрицы определяется так называемыми
пространственными свойствами асимптотической факторизации. Грубо говоря,
результат процесса столкновения между группой частиц, обладающих массами,
должен быть независимым от наличия других частиц на большом расстоянии.
